Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 280-6.

Calcule a integral:

S F n d S

Onde:

F = - 3 x y z 2 , x + 2 y z - 2 x z 4 , y z 3 - z 2

E S é a união da superfície: x 2 + y 2 = 1

0 z 1

Com a superfície:

z = 0

x 2 + y 2 1

Indicando a orientação escolhida para S .

Passo 1

A superfície S é a união de outras duas. Podemos então separar a integral e fazer como se fossem dois problemas: S F n d S = S 1 F n d S + S 2 F n d S

Para a primeira, que é o cilindro x 2 + y 2 = 1 , vamos parametrizar com coordenadas polares:

x = t cos θ

y = t   s e n θ

θ 0,2 π

t > 0 Substituindo na equação da superfície:

t cos θ 2 + t   s e n θ 2 = 1

t 2 = 1 t = 1

x = cos θ

y = s e n θ

Portanto z sobrou como variável, vamos torna-la um parâmetro.

ϕ θ , z = cos θ , s e n θ , z

Jogando a parametrização nas limitações, temos simplesmente: z 0,1

Portanto nosso domínio de integração é: D 1 = z , θ R 2 θ 0,2 π ,     z 0,1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrando o vetor normal: N = ϕ θ × ϕ z

ϕ θ = - s e n θ , cos θ , 0

ϕ z = 0,0 , 1

N = i j k - s e n θ cos θ 0 0 0 1

N = cos θ , s e n θ , 0

Como os valores de x e y estão com um sinal positivo, o vetor normal está apontando para fora.

Passo 3

Substituindo a parametrização no campo:

F = - 3 x y z 2 , x + 2 y z - 2 x z 4 , y z 3 - z 2

F = - 3 cos θ s e n θ z 2 , cos θ + 2 s e n θ z - 2 c o s θ z 4 , s e n θ z 3 - z 2

Fazendo o produto escalar:

- 3 cos θ s e n θ z 2 , cos θ + 2 s e n ( θ ) z - 2 c o s θ z 4 , s e n θ z 3 - z 2 cos θ , s e n θ , 0

- 3 cos 2 θ s e n θ z 2 + cos θ s e n θ + 2 s e n 2 ( θ ) z - 2 s e n θ cos θ z 4

Fazendo a integral:

S 1 F n d S

S 1 - 3 cos 2 θ s e n θ z 2 + cos θ s e n θ + 2 s e n 2 ( θ ) z - 2 s e n θ cos θ z 4   d θ d z

Substituindo os limites de integração:

0 2 π 0 1 - 3 cos 2 θ s e n θ z 2 + cos θ s e n θ + 2 s e n 2 θ z - 2 s e n θ cos θ z 4 d z d θ

0 2 π - cos 2 θ s e n θ + cos θ s e n θ   + s e n 2 θ - 2 s e n θ cos θ 5 d θ

0 2 π - cos 2 θ s e n θ + 3 5 cos θ s e n θ   + s e n 2 θ d θ

Arrumando pela fórmula trigonométrica e por substituição simples: cos θ s e n θ = s e n 2 θ 2

v = cos θ d v = - s e n θ d θ

s e n 2 θ = 1 - cos 2 θ 2

- cos 2 θ s e n θ = v 2 d v

Substituindo:

3 5 * 1 2 0 2 π s e n 2 θ d θ + θ = 0 θ = 2 π v 2 d v + 0 2 π 1 - cos 2 θ 2 d θ

- 3 20 ( cos 2 θ ) 0 2 π + v 3 3 θ = 0 θ = 2 π + π - 1 4 ( sen 2 θ ) 0 2 π

- 3 20 cos 4 π - cos 0 + 1 3 cos 3 θ 0 2 π + π - 1 4 s e n 4 π - s e n 0

- 3 20 1 - 1 + 1 3 cos 3 2 π - cos 3 0 + π - 1 4 ( 0 - 0 )

S 1 F n d S = 1 3 1 - 1 + π

S 1 F n d S = π

Passo 4

Fazendo a parametrização para a outra superfície, sabemos que ela é o plano z = 0 .

Com os limites:

x 2 + y 2 1

Que é o disco de raio unitário. Parametrizamos com coordenadas polares: x = t cos θ

y = t   s e n θ

θ 0,2 π

t > 0

Substituindo: t cos θ 2 + t sen θ 2 1

t 2 1 0 t 1

Portanto nossos limites são o domínio: D 2 = t , θ R 2 θ 0,2 π ,     t 0,1

Modelando o plano:

ϕ t , θ = t cos θ , t   s e n θ , 0

Obtemos o vetor normal: N 2 = i j k cos θ s e n θ 0 - t   s e n θ t cos θ 0

N 2 = 0,0 , t

Para manter a ideia de vetor normal apontando para fora da superfície, precisamos apontar o vetor N 2 para baixo, logo

N 2 = 0,0 , - t

Passo 5

Fazendo a integral:

S 2 F n d S

Substituímos a parametrização no campo: F = - 3 x y z 2 , x + 2 y z - 2 x z 4 , y z 3 - z 2

Não importam a primeira e a segunda coordenadas pois o produto escalar com ( 0,0 , t ) vai zerá-las. Portanto: F = ( ? , ? , t   s e n θ z 3 - z 2 )

Mas nesse plano temos z = 0 , portanto: F = ? ,   ? ,   0

Pelo produto escalar temos: F n = ? ,   ? ,   0 . 0,0 , - t = 0

Portanto a integral é nula.

S 2 F n d S = 0

Resposta

S F n d S = π

Com a orientação do vetor normal às superfícies apontando para fora do cilindro e para baixo do plano.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas