Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFRJ, Cálculo 3, PF - 2017.1, Questão 4

Calcule a integral de superfície S F d S , onde F x ,   y ,   z = 1 x , 1 y , 1 z e S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , cujo contorno está definido como intercessão da esfera com dois planos horizontais paralelos e dois planos verticais concorrentes, que passam pelo eixo z , conforme à figura abaixo. A distância entre os planos horizontais é h , o ângulo entre os planos verticais é ω , S pertence ao primeiro octante, e o vetor normal aponta fora da esfera.

Passo 1

Vamos começar procurando uma parametrização para a superfície S do problema. Bem... se estamos trabalhando com uma superfície em cima de uma esfera, nada mais natural que pensar em uma parametrização esférica, não acha? Ou seja, vamos fazer

x = a sin ϕ cos θ

y = a sin ϕ sin θ

z = a cos ϕ

Onde a é o raio da esfera, uma constante portanto!:D Logo, uma parametrização para a superfície S em função de ϕ e θ será

σ ϕ ,   θ = a sin ϕ cos θ , a sin ϕ sin θ ,   a cos ϕ  

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Passo 2

Se a gente se recordar das coordenadas esféricas, θ é um ângulo de variação no plano X Y . Como podemos perceber com o desenho da esfera, esse ângulo θ , varia de ω radianos. Oi? Como assim?

Bem, isso significa que o θ máximo menos o θ mínimo é justamente ω

θ m á x - θ m í n = ω

Portanto, o parâmetro θ inicia no θ m í n e termina no máximo

θ m í n θ θ m á x               θ m í n θ θ m í n + ω

Ok! Mas e o limite desse outro parâmetro aí?! ϕ ...?

Passo 3

Bem, quanto ao ângulo ϕ , aquele ângulo que varia de cima pra baixo no eixo z , ele entra na superfície no plano horizontal de cima, e sai no plano horizontal de baixo. Beleza, e o que significa isso?

Bem, se você notar que um plano horizontal tem a coordenada z constante, ele também terá um ângulo ϕ de entrada e saída também constante. Ora! Sim! Pois ϕ   depende apenas de z , percebeu?

Logo,

ϕ m í n ϕ ϕ m á x

ϕ m í n é o ângulo de entrada que só depende do plano horizontal de cima. Como o plano horizontal de cima tem um z constante, z 0 ...

z 0 = a cos ϕ m í n

Quanto ao plano de baixo, temos que ele delimita o ângulo máximo e ele está abaixo de z 0 por h unidades. Veja só

z 0 - h = a cos ϕ m á x

Passo 4

Beleza, agora nos falta encontrar, aquele termo d S .

Se a gente se recordar lá da teoria de integrais de superfície no caso vetorial vamos lembrar que

d S = N   d ϕ d θ

Onde N é o vetor normal da superfície, obtida utilizando o produto vetorial das derivadas parciais da superfície. Ou seja,

N = σ ϕ × σ θ

Começando a calcular isso pelas derivadas de σ ϕ ,   θ = a sin ϕ cos θ , a sin ϕ sin θ ,   a cos ϕ   :

σ ϕ = a cos ϕ cos θ ,   a cos ϕ sin θ ,   - a sin ϕ

σ θ = - a sin ϕ sin θ ,   a sin ϕ cos θ ,   0

Agora lançando mão do produto vetorial dessas coisas, lembrando que produto vetorial é um determinante onde a primeira linha são os vetores unitários i ^ , j ^ e k ^

σ ϕ × σ θ = i ^ j ^ k ^ a cos ϕ cos θ a cos ϕ sin θ - a sin ϕ - a sin ϕ sin θ a sin ϕ cos θ 0 =

Efetuando o determinante, e juntando os termos ficamos com:

σ ϕ × σ θ = a 2 sin 2 ϕ cos θ i ^ + a 2 sin 2 ϕ sin θ j ^ + a 2 sin ϕ cos ϕ k ^

Ou ainda, em notação vetorial para facilitar a nossa visualização

d S = ��� σ ϕ × σ θ d ϕ d θ = a 2 sin 2 ϕ cos θ ,   a 2 sin 2 ϕ sin θ ,   a 2 sin ϕ cos ϕ d ϕ d θ

Passo 5

Não podemos esquecer de aplicar essa transformação na função vetorial F , hein!

F = 1 x , 1 y , 1 z

F = 1 a sin ϕ cos θ , 1 a sin ϕ sin θ , 1 a cos ϕ

Mas note que na integral de superfície, S F d S ,não estamos interessados em F sozinho e sim o produto interno dele por d S , ou seja

F d S =

1 a sin ϕ cos θ , 1 a sin ϕ sin θ , 1 a cos ϕ a 2 sin 2 ϕ cos θ ,   a 2 sin 2 ϕ sin θ ,   a 2 sin ϕ cos ϕ d ϕ d θ

Efetuando esse cara aí

= a 2 sin 2 ϕ cos θ a sin ϕ cos θ + a 2 sin 2 ϕ sin θ a sin ϕ sin θ + a 2 sin ϕ cos ϕ a cos ϕ d ϕ d θ

E simplificando essas frações, obteremos

F d S = 3 a sin ϕ d ϕ d θ

Passo 6

Prontinho! Agora é só jogar toda essa receita na integral. :D Vem comigo!

S F d S = θ m í n θ m á x ϕ m í n ϕ m á x 3 a sin ϕ d ϕ d θ

S F d S = θ m í n θ m á x 3 a   - cos ϕ ϕ m í n ϕ m á x   d θ

Substituindo os limites em ϕ

S F d S = θ m í n θ m á x 3 a ( cos ϕ m í n - cos ϕ m á x ) d θ

Agora integrando em θ , vamos obter

�� S F d S = 3 a ( cos ϕ m í n - cos ϕ m á x ) θ θ m í n θ m á x   d θ

S F d S = 3 a ( cos ϕ m í n - cos ϕ m á x ) θ m á x - θ m í n

Pow! Olha que expressão bacana obtivemos como resultado dessa integral :D

  1. Pra começar, já vimos que θ m á x - θ m í n = ω
  2. Quanto a ( cos ϕ m í n - cos ϕ m á x ) , se trabalharmos um pouco com aquelas duas expressões que obtivemos com a variação de ϕ :

z 0 = a cos ϕ m í n

              z 0 - h = a cos ϕ m á x

Ganharemos ( cos ϕ m í n - cos ϕ m á x ) = h a

Substituindo tudo na integral

S F d S = 3 a h a ω = 3 h ω

Resposta

S F d S = 3 h ω

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