Calcule ∬ S F → . n → d S , onde

F → x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 x , y , z e S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ,   a > 0 , com n → exterior.

Passo 1

Esse campo vetorial F → assusta né? Tem um termo muito grande multiplicado em todos os três termos! Fica tranquilo, quando fizermos a substituição dos parâmetros da superfície S isso vai ficar mais fácil.

Temos aqui uma questão típica de integral de superfície caso vetorial, para resolvê-la vamos precisar parametrizar a superfície, encontrar os seus limites, seu vetor normal e, por fim, jogar tudo na integral e fazer o seguinte produto escalar

∬ S F → ∙ n → d S

Vamos começar parametrizando a superfície S . Ela é uma esfera completa de raio a , certo? Então a parametrização esférica fica assim

x = a cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ

y = a sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

z = a cos ⁡ ϕ

Os limites dessa parametrização são os de uma esfera inteira, esse aqui

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π

Passo 2

Para calcular o vetor normal vamos precisar fazer o seguinte produto vetorial

N → = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ ϕ

Precisamos calcular as derivadas da superfície

∂ φ ∂ θ = - a sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , a cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , 0

∂ φ ∂ ϕ = a cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ , a sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ , - a sen ⁡ ϕ

N → = i j k - a sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ a cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 0 a cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ a sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ - a sen ⁡ ϕ

= ( - a 2 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ , - a 2 sen ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ , - a 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ )

Todos os sinais deram negativos, certo? Quer dizer que essa normal, graficamente, está apontada para dentro da esfera! O enunciado pede a normal exterior, o que não é problema, só vamos inverter esses sinais

N → = ( a 2 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ , a 2 sen ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ , a 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ )

Passo 3

Vamos substituir agora os parâmetros da superfície nos termos do campo vetorial F → . Será esses novos valores que vamos colocar na integral

F → x , y , z = F 1 , F 2 , F 3 = x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 x , y , z

Vamos fazer isso aqui com calma, cada termo de uma vez. Primeiramente F 1

F 1 = x x 2 + y 2 + z 2 3 2

Perceba que, com os parâmetros que usamos, esse termo ( x 2 + y 2 + z 2 ) é exatamente igual a a 2 . Com isso, sempre que ele aparecer vamos substituir com esse valor direto

F 1 = a cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ a 2 3 2 = a cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ a 3 = cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ a 2

F 2 = a sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ a 2 3 2 = a sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ a 3 = sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ a 2

F 3 = a cos ⁡ ϕ a 2 3 2 = a cos ⁡ ϕ a 3 = cos ⁡ ϕ a 2

F → = cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ a 2 , sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ a 2 , cos ⁡ ϕ a 2

Passo 4

Beleza, antes de substituir tudo na integral, vamos fazer o produto escalar separado pra ficar mais claro

cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ a 2 , sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ a 2 , cos ⁡ ϕ a 2 . ( a 2 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ , a 2 sen ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ , a 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ )

Todos os termos da esquerda têm esse a 2 no denominador e todos na direita tem o mesmo termo no numerador, né? Então todos eles vão se cortar! O produto escalar fica assim

= a 2 cos 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ ϕ a 2 + a 2 sen 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ ϕ a 2 + a 2 sen ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ a 2 =

= sen 3 ⁡ ϕ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ⏟ = 1 + sen ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ =

= sen 3 ⁡ ϕ + sen ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ =

= sen ⁡ ϕ sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ =

= sen ⁡ ϕ

Portanto só sobra esse termo dentro da integral!

Passo 5

Nossa integral vai ser bem simples então

∬ S F → ∙ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π sen ⁡ ϕ d ϕ d θ =

= ∫ 0 2 π - cos ⁡ ϕ 0 π d θ = ∫ 0 2 π - - 1 - 1 d θ

= ∫ 0 2 π 2   d θ = 2 2 π = 4 π

Resposta

4 π

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