Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 23i

Calcule S F . n d S , onde

F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 x , y , z e S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ,   a > 0 , com n exterior.

Passo 1

Esse campo vetorial F assusta né? Tem um termo muito grande multiplicado em todos os três termos! Fica tranquilo, quando fizermos a substituição dos parâmetros da superfície S isso vai ficar mais fácil.

Temos aqui uma questão típica de integral de superfície caso vetorial, para resolvê-la vamos precisar parametrizar a superfície, encontrar os seus limites, seu vetor normal e, por fim, jogar tudo na integral e fazer o seguinte produto escalar

S F n d S

Vamos começar parametrizando a superfície S . Ela é uma esfera completa de raio a , certo? Então a parametrização esférica fica assim

x = a cos θ sen ϕ

y = a sen θ sen ϕ

z = a cos ϕ

Os limites dessa parametrização são os de uma esfera inteira, esse aqui

0 θ 2 π

0 ϕ π

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Passo 2

Para calcular o vetor normal vamos precisar fazer o seguinte produto vetorial

N = φ θ × φ ϕ

Precisamos calcular as derivadas da superfície

φ θ = - a sen θ sen ϕ , a cos θ sen ϕ , 0

φ ϕ = a cos θ cos ϕ , a sen θ cos ϕ , - a sen ϕ

N = i j k - a sen θ sen ϕ a cos θ sen ϕ 0 a cos θ cos ϕ a sen θ cos ϕ - a sen ϕ

= ( - a 2 cos θ sen 2 ϕ , - a 2 sen θ sen 2 ϕ , - a 2 sen ϕ cos ϕ )

Todos os sinais deram negativos, certo? Quer dizer que essa normal, graficamente, está apontada para dentro da esfera! O enunciado pede a normal exterior, o que não é problema, só vamos inverter esses sinais

N = ( a 2 cos θ sen 2 ϕ , a 2 sen θ sen 2 ϕ , a 2 sen ϕ cos ϕ )

Passo 3

Vamos substituir agora os parâmetros da superfície nos termos do campo vetorial F . Será esses novos valores que vamos colocar na integral

F x , y , z = F 1 , F 2 , F 3 = x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 x , y , z

Vamos fazer isso aqui com calma, cada termo de uma vez. Primeiramente F 1

F 1 = x x 2 + y 2 + z 2 3 2

Perceba que, com os parâmetros que usamos, esse termo ( x 2 + y 2 + z 2 ) é exatamente igual a a 2 . Com isso, sempre que ele aparecer vamos substituir com esse valor direto

F 1 = a cos θ sen ϕ a 2 3 2 = a cos θ sen ϕ a 3 = cos θ sen ϕ a 2

F 2 = a sen θ sen ϕ a 2 3 2 = a sen θ sen ϕ a 3 = sen θ sen ϕ a 2

F 3 = a cos ϕ a 2 3 2 = a cos ϕ a 3 = cos ϕ a 2

F = cos θ sen ϕ a 2 , sen θ sen ϕ a 2 , cos ϕ a 2

Passo 4

Beleza, antes de substituir tudo na integral, vamos fazer o produto escalar separado pra ficar mais claro

cos θ sen ϕ a 2 , sen θ sen ϕ a 2 , cos ϕ a 2 . ( a 2 cos θ sen 2 ϕ , a 2 sen θ sen 2 ϕ , a 2 sen ϕ cos ϕ )

Todos os termos da esquerda têm esse a 2 no denominador e todos na direita tem o mesmo termo no numerador, né? Então todos eles vão se cortar! O produto escalar fica assim

= a 2 cos 2 θ sen 3 ϕ a 2 + a 2 sen 2 θ sen 3 ϕ a 2 + a 2 sen ϕ cos 2 ϕ a 2 =

= sen 3 ϕ sen 2 θ + cos 2 θ = 1 + sen ϕ cos 2 ϕ =

= sen 3 ϕ + sen ϕ cos 2 ϕ =

= sen ϕ sen 2 ϕ + cos 2 ϕ =

= sen ϕ

Portanto só sobra esse termo dentro da integral!

Passo 5

Nossa integral vai ser bem simples então

S F n d S = 0 2 π 0 π sen ϕ d ϕ d θ =

= 0 2 π - cos ϕ 0 π d θ = 0 2 π - - 1 - 1 d θ

= 0 2 π 2   d θ = 2 2 π = 4 π

Resposta

4 π

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