Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2011.2, Questão 1

Calcule:

S   F n d S

Onde F x , y , z = ( 2 y , - z , x 2 ) e S é a superfície do cilindro y 2 = 8 x situada no primeiro octante e limitada pelos planos y = 4 e z = 6 . Oriente a normal de forma que sua coordenada x seja positiva.

Passo 1

Uma parametrização para a superfície é dada por:

y = v x = v 2 8

z = w

Segue que:

ϕ v , w = v 2 8 , v , w

v 0,4

w 0,6

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O vetor normal vezes o elemento de área tem a seguinte fórmula:

n   d S = ϕ v × ϕ w   d v d w

Para calcular o vetor normal fazemos as parciais:

ϕ v = v 4 , 1,0

ϕ w = 0,0 , 1

Temos que o vetor normal é:

ϕ v × ϕ w = i j k v 4 1 0 0 0 1

ϕ v × ϕ w = 1 , - v 4 , 0

Observe que esse vetor normal tem o mesmo sentido que o proposto pelo enunciado.

Passo 3

Substituindo a parametrização no campo: F = 2 v , - w , v 4 64

E na fórmula da integral:

S   F n d S = 0 6 0 4 2 v , - w , v 4 64 1 , - v 4 , 0 d v d w

Obtemos:

S   F n d S = 0 6 0 4 2 v + w v 4 d v d w

Agora basta integrar. Como os termos são lineares não é muito complicado:

S   F n d S = 0 6 v 2 0 4 + w v 2 0 4 8 d w

S   F n d S = 0 6 4 2 + 4 2 w 8 d w

S   F n d S = 0 6 16 + 2 w d w

S   F n d S = 16 × 6 + w 2 0 6

S   F n d S = 96 + 36

Finalmente.

Resposta

S   F n d S = 132

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