Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

USP, Cálculo 3, P3 - 2010, Questão 1b

Calcule S   F . N d σ , sendo F x , y , z = - y i + x j + z k e S a parte de x 2 + y 2 + z 2 = 1 que satisfaz 2 2 z 3 2 , orientada pela normal N tal que N . k > 0 .

Passo 1

Antes de tudo, vamos pensar que superfície é essa do problema. Temos uma esfera de raio 1 cortada por dois planos paralelos z = 2 2 e z = 3 2 .

A superfície S é esse pedaço da esfera entre os dois planos.

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Passo 2

Agora vamos parametrizar essa superfíce em coordenadas esféricas com ρ = 1 , ok? Temos:

x = cos θ s e n   φ

y = s e n   θ   s e n   φ

z = cos φ

O que nos dá

σ θ , φ = ( cos θ s e n   φ ,   s e n   θ   s e n   φ , cos φ )

Como

2 2 z 3 2

Temos

2 2 cos φ 3 2

Logo, φ vai de π / 4 a π / 6 .

Como temos a volta completa em torno do eixo z , 0 θ 2 π .

Passo 3

Agora temos que calcular a normal σ φ × σ θ

Temos:

σ φ = ( cos θ cos φ ,   s e n   θ cos φ , - s e n   φ )

σ θ = - sen θ s e n   φ , cos θ s e n   φ , 0

σ φ × σ θ = i ^ j ^ k ^ cos θ cos φ sen θ cos φ - sen φ - sen θ sen φ cos θ sen φ 0

= s e n 2 φ cos θ , s e n 2 φ   s e n   θ , cos 2 θ s e n   φ cos φ + s e n 2 θ   s e n   φ cos φ =

= s e n 2 φ cos θ , s e n 2 φ   s e n   θ , s e n   φ cos φ

Bom, como o problema diz que a normal tal que N . k > 0 , sabemos que o vetor que queremos são esses mesmo.

Passo 4

Agora, para calcular essa integral, vamos usar a seguinte fórmula:

S   F . n d S = D   F σ θ , φ . σ θ × σ φ d θ d φ

Aplicando os valores que nós temos:

S   F n d S = D   F σ θ , φ . s e n 2 φ cos θ , s e n 2 φ   s e n   θ , s e n   φ cos φ d θ d φ

Escrevendo o campo em função das variáveis da parametrização, temos:

F x , y , z = - y , x , z

σ θ , φ = ( cos θ s e n   φ ,   s e n   θ   s e n   φ , cos φ )

F σ θ , φ = - s e n   θ   s e n   φ , cos θ s e n   φ , cos φ

Levando para a integral

= D   - s e n   θ   s e n   φ , cos θ s e n   φ , cos φ . s e n 2 φ cos θ , s e n 2 φ   s e n   θ , s e n   φ cos φ d θ d φ =

= D   - s e n   θ cos θ   s e n 3   φ + s e n   θ cos θ s e n 3   φ + s e n   φ cos 2 φ d θ d φ =

= D   s e n   φ cos 2 φ d θ d φ =

= π 4 π 6 0 2 π s e n   φ cos 2 φ d θ d φ =

Passo 5

Agora vamos resolver isso aí

= 2 π π 4 π 6 s e n   φ cos 2 φ d φ =

= - 2 π 3 cos 3 φ π 4 π 6 =

= - 2 π 3 3 3 8 - 2 2 8 =

= π 12 2 2 - 3 3

Resposta

π 12 2 2 - 3 3

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