Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G3 - 2013.1, Questão 1ac

Considere a superfície S do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 , situada no primeiro octante ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) .

a) Ache uma parametrização para S .

c) Calcule o fluxo do campo F x , y , z = - y , x , - z através de S (supondo S orientada para fora).

Passo 1

Letra a)

Bom primeiro vamos parametrizar o paraboloide e depois analisar os intervalos dos parâmetros, ok?

Podemos usar coordenadas ciíndricas, já que temos simetria em relação ao eixo z :

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

z = 9 - r cos θ 2 + r   s e n   θ 2 = 9 - r 2

Logo, temos a parametrização

φ r ,   θ = r cos θ , r   s e n   θ , 9 - r 2

Show, agora vamos ver os intervalos de r e θ .Como se trata do primeiro octante, sabemos que 0 θ π / 2 .

Para descobrir o valor máximo de r , temos que fazer a intersecção do paraboloide com o plano z = 0 , que é a circunferência de raio 3 :

x 2 + y 2 = 9

Logo, 0 r 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra c)

Para calcular o fluxo que o problema pede, vamos usar a seguinte fórmula

S   F . d S = D   F φ . φ r × φ θ d r d θ

Onde

φ r ,   θ = r cos θ , r   s e n   θ , 9 - r 2

F x , y , z = - y , x , - z

Escrevendo o campo em função da parametrização

F φ = - r   s e n   θ , r cos θ , r 2 - 9

Precisamos calcular a normal à S :

φ r = cos θ , s e n   θ , - 2 r

φ θ = - r sen θ , r cos θ , 0

φ r × φ θ = i j k cos θ s e n   θ - 2 r - r sen θ r cos θ 0

= 2 r 2 cos θ , 2 r 2 s e n   θ , r cos 2 θ + r   s e n 2 θ =

= 2 r 2 cos θ , 2 r 2 s e n   θ , r

Como ele pede que a orientação de S seja para fora e o vetor tem x positivo quando y é positivo, sabemos que é o vetor certo. Substituindo tudo na integral:

S   F . d S = 0 π / 2 0 3 - r   s e n   θ , r cos θ , r 2 - 9 . 2 r 2 cos θ , 2 r 2 s e n   θ , r d r d θ

= 0 π / 2 0 3 - 2 r 3 s e n   θ cos θ + 2 r 3 s e n   θ cos θ + r 3 - 9 r   d r d θ =

= 0 π / 2 0 3 r 3 - 9 r   d r d θ =

= 0 π / 2 r 4 4 - 9 r 2 2 0 3 d θ =

= 0 π / 2 81 4 - 81 2 d θ =

= - 81 4 π 2 = - 81 π 8

Resposta

  1. φ r ,   θ = r cos θ , r   s e n   θ , 9 - r 2 ,   0 θ π 2 , 0 r 3

c) - 81 π 8

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas