Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFPE, Cálculo 3, 2º EE - 2016.2, Questão 2a

Dados o campo F x , y , z = x z   i + y z   j - z 2 + z + e x 2 sen y k e a superfície fechada S que delimita o cilindro

E : x 2 + z 2 9 ,   0 y 3

com a normal apontando para fora. Calcule:

(a) O fluxo de F através da base de E que está contida no plano y = 0

Passo 1

Nossa região está com os eixos trocados, não é aquele cilindro normal que a gente geralmente desenha no eixo z , olha só como é o esboço desse aqui

A base desse cilindro no plano y = 0 nada mais é do o círculo

x 2 + z 2 9

y = 0

Esse aqui

O fluxo de F que o enunciado pediu pra gente é calculado pela integral de superfície

S F . n d S

Precisamos então parametrizar essa superfície, calcular a normal n e calcular a integral, vamos lá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pela parametrização, como a superfície é um circulo de raio 3 em y = 0 , podemos fazer isso aqui

x 2 + z 2 9

x = r cos θ

y = 0

z = r sen θ

φ r , θ = r cos θ , 0 , r sen θ

0 r 3

0 θ 2 π

Para calcular a normal à superfície, precisamos fazer o produto vetorial entre as derivadas de φ , assim

φ r = cos θ , 0 , sen θ

φ θ = - r sen θ , 0 , r cos θ

n = φ r × φ θ = i j k cos θ 0 sen θ - r sen θ 0 r cos θ

n = 0 , r , 0

Como a normal deve estar apontando para fora no esboço do passo 1, o valor de y deve ser negativo, portanto

n = 0 , - r , 0

Antes de colocar tudo na integral, precisamos descobrir como fica F escrito com r e θ

F x , y , z = x z   i + y z   j - z 2 + z + e x 2 sen y k

F r , θ = r cos θ r sen θ i + 0 j + r 2 sen 2 θ + r sen θ + e r 2 cos 2 θ k

Bem complicado né? Vamos ver que fazendo o produto escalar com a normal n vai ficar mais simples.

Passo 3

Na integral

S r 2 sen θ cos θ , 0 , r 2 sen 2 θ + r sen θ + e r 2 cos 2 θ . 0 , - r , 0 d r d θ

= S 0 d r d θ

= 0

Resposta

0

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