Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

USP, Cálculo 3, P3 - 2018, Questão 2

Questão 2: Calcule

S   F n d S

Onde F x ,   y ,   z = x ,   0 ,   z e S é a parte do paraboloide y = x 2 + z 2 + 1 limitado pelo cilindro x 2 + z 2 = 16 e orientado por n tal que n j > 0 .

Passo 1

OK! A primeira coisa a fazermos em problemas de cálculo de integrais de superfície do caso vetorial é justamente montarmos um esquema de como vamos chegar à solução. O método que podemos adotar é esse daqui:

  1. Primeiro parametrizar a superfície.
  2. Segundo, deveremos encontrar o termo n d S .
  3. Depois a gente tem que trocar os termos do campo F pelos termos da parametrização.
  4. Por último é só voltar para a integral, substituir e terminar os cálculos.

Vamos nessa então?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como vimos, o que precisamos fazer nesse primeiro momento, é parametrizar a superfície S . Mas por falar nisso... Quem é ela?

Pelo enunciado, estamos trabalhando com um paraboloide ao redor do eixo y e passando por y = 1 ...

y = x 2 + z 2 + 1               d e s e n h a n d o

Um paraboloide é infinito, por isso, o nosso problema nos limita pelo cilindro de raio 4 ( x 2 + z 2 = 16 )...

Ou seja, o nosso paraboloide tem um y indo de 1 até 17 , pois o encontro do cilindro com o paraboloide é justamente nesse valor:

y = x 2 + z 2 + 1   x 2 + z 2 = 16                       y = 16 + 1 = 17

MAS ATENÇÃO! Embora o enunciado menciona um cilindro, a nossa superfície mesmo é o paraboloide! O cilindro é apenas para delimitar a superfície, até porque ninguém quer um paraboloide indo para o infinito, neh?

Passo 3

OK! Conhecemos a superfície S , agora... Qual parametrização podemos utilizar para descrevê-la? Ora, a nossa superfície (o paraboloide) tem uma equação bem explícita:

y = x 2 + z 2 + 1

Então é legal utilizarmos uma parametrização também explícita com os dois parâmetros que precisamos sendo o x e z ...

σ x ,   z = x ,   x 2 + z 2 + 1 ,   z

Passo 4

Como em qualquer outra parametrização, devemos determinar onde os parâmetros variam. No nosso caso, eles estão variando dentro do cilindro:

x 2 + z 2 = 16                     d e s e n h a n d o

Inclusive, dava para desconfiar, se olharmos para a projeção da superfície no plano z x , neh? No momento, vamos apenas indicar que o nosso x e z estão variando dentro desse disco de raio 4 aí:

x ,   z D

Depois se precisarmos, a gente o descreve em coordenadas polares. Só não vamos fazer isso agora para não perdermos o foco na solução da integral de superfície ;)

Passo 5

Por falar em integral de superfície... O nosso próximo passo é dedicado para encontrar o termo

n d S = N   d x d z

O vetor normal N , por sua vez...

N = �� σ x × σ z

Calculando essas derivadas parciais...

σ x ,   z = x ,   x 2 + z 2 + 1 ,   z                             σ x = 1 ,   2 x ,   0

σ x ,   z = x ,   x 2 + z 2 + 1 ,   z                             σ z = 0 ,   2 z ,   1

Como o cálculo de um produto vetorial é um determinante onde...

N = σ x × σ ��� z = i ^ j ^ k ^ 1 2 x 0 0 2 z 1 =

2 x i ^ + 2 z k ^ - 1 j ^

Ou...

N = 2 x ,   - 1 ,   2 z

Mas lembre-se que queremos o vetor normal que satisfaz n j > 0 ...

2 x ,   - 1 ,   2 z 0 ,   1 ,   0 = - 1 < 0

Logo, o vetor normal que buscamos é o inverso desse...

N = - 2 x ,   1 ,   - 2 z

Então...

n d S = - 2 x ,   1 ,   - 2 z   d x d z

Passo 6

Como terceira tarefa, precisamos trocar os termos do campo F pelos termos da parametrização...

F x ,   y ,   z = x ,   0 ,   z

Como na nossa parametrização o único que muda é o y (o x e o z continuam sendo eles mesmos), o nosso campo não muda:

F σ x ,   z = x ,   0 ,   z

Passo 7

Retornando para a integral então:

S   F n d S = D   x ,   0 ,   z - 2 x ,   1 ,   - 2 z   d x d z =

Calculando esse produto escalar:

D   - 2 x 2 - 2 z 2   d x d z =

- 2 D   x 2 + z 2   d x d z

Veja então que trocamos uma integral de superfície por um a integral dupla na região de variação dos parâmetros, como já era esperada mesmo ! Para facilitar a integração, bora trocar as variáveis pelas coordenadas polares:

x = r cos θ

y = r sin θ

O Jacobiano dessa mudança é:

J = r

Outra equação que nos ajuda muito nessa mudança é equação do círculo:

x 2 + y 2 = r 2

Passo 8

Toda mudança, nos exige que determinemos onde as variáveis “variam”! No caso, para ver onde o raio e o θ estão variando, bastam dar uma checada na variação de x e y :

Veja que r varia de 0 até o raio máximo da região que é justamente o raio do cilindro (borda azul dessa região D )...

0 r 4

Enquanto o θ dá uma volta de 360 ° ...

0 θ 2 π

Passo 9

Voltando então para a integral dupla não se esquecendo de multiplicar a função pelo Jacobiano...

- 2 D   x 2 + z 2   d x d z = - 2 0 2 π 0 4 r 2 J   d r d θ =

- 2 0 2 π 0 4 r 3 d r d θ

Integrando então...

- 2 0 2 π 0 4 r 3 d r d θ = - 2 0 2 π r 4 4 0 4 d θ =

- 2 4 4 4 0 2 π d θ = - 2 4 3 2 π =

- 256 π

Então...

S   F n d S = - 256 π

Resposta

- 256 π

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