Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

USP, Cálculo 3, P3 - 2017, Questão 1b

Questão 1:

b) Calcule

S   x   d y d z + y   d z d x + z   d x   d y

Sendo S a parte do plano z + 2 x - 3 = 0 limitada pelo paraboloide z = 4 - x 2 - 2 y 2 , orientada com a normal unitária de modo que N k > 0 .

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos primeiro melhorar a notação para termos uma clara noção do que fazermos. A integral de superfície no caso vetorial que queremos

S   x   d y d z + y   d z d x + z   d x   d y

pode ser reescrita de uma forma bem mais elegante como sendo...

S   F n   d S

Onde o campo F é no nosso caso...

F = x ,   y ,   z

O bom dessa notação é só que assim fica mais fácil de seguir o passo a passo de resolução de integrais de superfície no caso vetorial:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Substituir os termos da parametrização na função vetorial F .

3º - Encontrar o termo n   d S .

Bora lá?

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Passo 2

Devemos parametrizar a superfície S , mas por falar nisso quem é ela? Seria muito bom se tivéssemos uma visão mais geométrica dela.

Tenha em mente bem fixo que a superfície é o plano z + 2 x - 3 = 0 ...

Só que delimitado pelo paraboloide z = 4 - x 2 - 2 y 2 ...

Sendo assim, eis a superfície S ...

Passo 3

Para parametrizar, como a superfície é um pedaço de um plano, podemos pensar em uma parametrização explícita, onde x e y continuam os mesmos (no caso os parâmetros) e o z do plano, vira...

z + 2 x - 3 = 0                           z = 3 - 2 x

Então a parametrização que encontramos de uma forma mais elegante é...

γ x ,   y = x ,   y ,   3 - 2 x

Passo 4

Nunca devemos sair de uma parametrização sem antes determinarmos onde os parâmetros (no caso x e y ) estão variando.

Bem, se você reparar novamente o esboço geométrico dele...

Vai perceber que a superfície plana está sendo delimitada pelo encontro com o paraboloide. Esse encontro em matemática é a solução do sistema com a equação de ambas as superfícies:

z + 2 x - 3 = 0 z = 4 - x 2 - 2 y 2

Isolando z em cima e substituindo...

z = 3 - 2 x                         z = 4 - x 2 - 2 y 2              

3 - 2 x = 4 - x 2 - 2 y 2      

x 2 - 2 x + 2 y 2 = 1      

Completando quadrado já que x - 1 2 - 1 = x 2 - 2 x ...

x - 1 2 + 2 y 2 = 2      

x - 1 2 2 + y 2 = 1

Eis que essa equação nos representa uma elipse

E essa elipse e justamente a região D onde os parâmetros x e y variam. Por hora, para não perdermos o foco na resolução da integral de superfície, basta falar que x ,   y D . Depois se precisar, descrevemos em coordenadas elípticas ;)

Passo 5

Pelo passo a passo legal do passo 1 , é hora de substituir os parâmetros da parametrização:

γ x ,   y = x ,   y ,   3 - 2 x

Na função que estamos integrando:

F = x ,   y ,   z

Ou seja...

F γ x ,   y = x ,   y ,   3 - 2 x

Repare que como o campo tem como componente x , y e z , quando trocar pela parametrização, coincidentemente dá a mesma parametrização

Passo 6

Para encontrar o termo   n d S ...

n   d S = N   d x d y

Onde o vetor normal, usualmente pode ser determinado por, calculando:

N = γ x , y x × γ x , y y

Calculando essas derivadas parciais...

γ x ,   y = x ,   y ,   3 - 2 x

γ x , y x = 1 ,   0 ,   - 2

Calculando a outra derivada parcial...

γ x , y y = 0 ,   1,0

Voltando para o produto vetorial lembrando que esse é dado pelo cálculo de um determinante:

N = γ x , y x × γ x , y y =

i j k 1 0 - 2 0 1 0 = k - - 2 i

Então

N = 2 ,   0 ,   1

Passo 7

Agora, aqui sempre devemos nos perguntar: estamos com o vetor correto? Ou temos que inverter o sinal dele?

Para responder a essa pergunta, basta verificar a condição de orientação que o problema nos disse, o que no caso é

N k > 0

Como o vetor k = 0 ,   0 ,   1 ...

2 ,   0 ,   1 0 ,   0 ,   1 = 1 > 0

Logo, estamos lidando com o vetor correto, percebeu? Se tivesse dado negativo, bastava multiplicar todas as entradas do vetor normal por - 1 ;)

Então o termo

n   d S = 2 ,   0 ,   1   d x d y

Passo 8

Voltando à integral que queremos resolver...

S   F n   d S

E trocando todos os termos que encontramos em cada passo...

D   x ,   y ,   3 - 2 x 2 ,   0 ,   1   d x d y

Observe que trocamos o S por D , afinal agora vamos calcular uma integral dupla em x e y necessitando do domínio deles, sacou? Calculando o produto escalar

D   2 x + 3 - 2 x   d x d y =

3 D     d x d y

Agora é só calcular a integral dupla e correr para o abraço!

Passo 9

Olha que maneiro, a integral de um d x d y é a área da região D que nesse caso é a elipse...

Uma área de elipse é dada por...

A = π a b

Onde a e b vem da equação geral de uma elipse...

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Não esquenta com x 0 e y 0 , pois eles representam a coordenada do centro da elipse. No nosso caso, já vimos no passo 4 que...

x - 1 2 2 + y 2 = 1  

x - 1 2 2 2 + y 2 1 2 = 1

Então o a = 2 e b = 1 dando a área de...

A = π a b = 2 π

Como...

S   F n   d S = 3 D     d x d y = 3 A =

3 2 π

Resposta

3 2 π

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