Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UNICAMP, Cálculo 2, P3 - 2017.2 - 6ª Noturno, Questão 4

Questão 4) Dados o campo vetorial F x ,   y ,   z = y i + x j + x z k e a superfície S dada por

S = x ,   y ,   z : z = x + y + 2 ,   x 2 + y 2 4 1

Calcule

S   r o t   F n d S ,

em que n é o vetor unitário apontando para baixo.

Passo 1

r o t   F = F 3 y - F 2 z ,   F 1 z - F 3 x ,   F 2 x - F 1 y  

F x ,   y ,   z = y ,   x ,   x z = F 1 ,   F 2 ,   F 3

r o t   F = 0 - 0 ,   0 - z ,   1 - 1

r o t   F = 0 ,   - z ,   0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, se vamos calcular essa integral de superfície, vamos precisar conhecer bem a Superfície S em que estamos trabalhando. Pra isso, basta desenha-la:

S = x ,   y ,   z : z = x + y + 2 ,   x 2 + y 2 4 1

Desenhando o plano: z = x + y + 2 ...

E delimitando pelo cilindro x 2 + y 2 4 1 ...

Aqui surge uma dúvida: quem é a superfície aqui? Cara, a superfície sempre será a igualdade (o plano) ok? O cilindro só está ali pra indicar onde o x e o y variam (delimitando a plano que queremos).

Passo 3

Como a superfície, repito, é o plano e sua equação é bem explícita em função de z , podemos parametrizar como uma parametrização explícita:

x = x

y = y

z = x + y + 2

Então a superfície de uma forma mais legal...

φ x ,   y = x , y ,   x + y + 2

Passo 4

Onde os parâmetros variam mesmo?

O enunciado diz que a região é a interior ao cilindro x 2 + y 2 4 = 1

Então por hora, vamos apenas dizer que os parâmetros variam nessa região ai da elipse, ok? Depois se precisar, descrevemos em coordenadas polares.

Passo 5

Vamos achar agora o valor do nosso vetor normal

N = φ x × φ y

φ x ,   y = x , y ,   x + y + 2

Calculando cada derivada separadamente

φ x = 1,0 ,   1

φ y = 0 ,   1 ,   1

N = i j k 1 0 1 0 1 1

= - 1 , - 1 ,   1

Como o vetor que ele nos pede tem que estar apontado pra baixo, basta que invertemos o sinal desse vetor encontrado (para a coordenada z ficar negativa):

N = 1 ,   1 ,   - 1

Passo 6

Substituindo, por conseguinte, os termos da parametrização...

φ x ,   y = x , y ,   x + y + 2

Na função que queremos a integral dupla, ou seja...

r o t   F = 0 ,   - z ,   0

r o t   F φ x ,   y = 0 ,   - x + y + 2 ,   0

Passo 7

Voltando para a integral de superfície...

S   r o t   F n d S = R   0 ,   - x + y + 2 ,   0 1 ,   1 ,   - 1 d x d y =

- R   x + y + 2   d x d y

Agora, repare que estamos trabalhando com uma integral dupla em uma região elíptica. Podemos então usar as mudanças para coordenadas elípticas ;)

x = r cos θ

y = 2 r sin θ

J = 2 r

Onde r varia de 0 até 1 (quando a elipse é a maior possível), enquanto que θ dá uma volta completa:

0 r 1

0 θ 2 π

Substituindo na integral dupla...

- R   x + y + 2 d x d y = - 0 2 π 0 1 r cos θ + 2 r sin θ + 2 J   d r d θ =

E calculando...

- 0 2 π 0 1 2 r 2 cos θ + 4 r 2 sin θ + 4 r   d r d θ =

- 0 2 π 2 r 3 3 0 1 cos θ + 4 r 3 3 0 1 sin θ + 2 r 2 0 1 d θ =

- 0 2 π 2 3 cos θ + 4 3 sin θ + 2 d θ = - 2 3 sin θ - 4 3 cos θ + 2 θ 0 2 π =

- 2 3 sin 2 π - 4 3 cos 2 π - 2 3 sin 0 - 4 3 cos 0 + 4 π = - 4 π

Resposta

- 4 π

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