Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

USP, Cálculo 3, P3 - 2016, Questão 1a

Seja S parte do plano x + 3 y + 2 z = 8 limitada pelos planos x = 0 , y = 0 e z = 0 . Calcule

S F N d S

Onde F x , y , z = ( x y z , y 2 z , x y ) com N k > 0

Passo 1

A questão pede para a gente calcular uma integral de superfície, né? Vamos então seguir o passo a passo de sempre, precisamos encontrar uma parametrização para a nossa superfície, depois achar o vetor normal à ela e depois substituir tudo na integral, vamos lá?

Vamos primeiro então parametrizar nossa superfície. Como ela é um plano, o jeito mais fácil de parametrizar é da forma explícita, nesse caso vamos explicitar em x para evitar denominadores, fica assim:

y = u

z = v

x = 8 - 3 u - 2 v

φ u , v = ( 8 - 3 u - 2 v , u , v )

Os limites do plano são:

y = 0 u = 0

z = 0 v = 0

x = 0 3 u + 2 v = 8

u = 8 - 2 v 3  

0 u 8 - 2 v 3

0 v 4

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Passo 2

Agora que temos a parametrização, vamos pensar na reta normal ao plano. Tem dois jeitos da gente fazer isso aqui: o primeiro é aquele jeito que fazemos para qualquer superfície, que precisamos derivar φ em relação a u e a v e fazer o produto vetorial desses dois termos, assim:

φ u = ( - 3,1 , 0 )

φ v = ( - 2,0 , 1 )

φ u × φ v = i j k - 3 1 0 - 2 0 1 = 1,3 , 2

N = ( 1,3 , 2 )

Ou podemos lembrar que, a normal do plano é exatamente os termos que estão multiplicando x , y e z na sua equação! Ou seja, como nossa equação é 1 x + 3 y + 2 z = 8 , sua normal vai ser ( 1,3 , 2 ) porque x está multiplicado por 1 , y por 3 e z por 2 .

N = ( 1,3 , 2 )

Só para checar o sentido da normal, o enunciado diz que N k > 0 , lembrando que k = ( 0,0 , 1 )

1,3 , 2 0,0 , 1 = 0 + 0 + 2 = 2 > 0

Então estamos usando a normal correta!

Passo 3

Definidas a parametrização e a normal, vamos voltar para a nossa integral:

F ( x , y ) = ( x y z , y 2 z , x y )

= 8 - 3 u - 2 v u v , u 2 v , 8 - 3 u - 2 v u

F ( u , v ) = ( 8 u v - 3 u 2 v - 2 u v 2 , u 2 v , 8 u - 3 u 2 - 2 u v )

0 4 0 8 - 2 v 3 8 u v - 3 u 2 v - 2 u v 2 , u 2 v , 8 u - 3 u 2 - 2 u v . 1,3 , 2 d u d v

Passo 4

Pronto, agora é só resolver!

= 0 4 0 8 - 2 v 3 8 u v - 3 u 2 v - 2 u v 2 + 3 u 2 v + 16 u - 6 u 2 - 4 u v d u d v

= 0 4 0 8 - 2 v 3 4 u v - 2 u v 2 + 16 u - 6 u 2 d u d v

= 0 4 4 u 2 v 2 - 2 u 2 v 2 2 + 16 u 2 2 - 6 u 3 3 u = 0 u = 8 - 2 v 3 d v

= 0 4 2 v 8 - 2 v 3 2 - v 2 8 - 2 v 3 2 + 8 8 - 2 v 3 2 - 2 8 - 2 v 3 3 d v

Vamos colocar esse termo que está aparecendo três vezes ao quadrado em evidência:

= 0 4 2 3 2 4 - v 2 2 v - v 2 + 8 - 2 2 3 3 4 - v 3 d v

Fazendo o MMC nos denominadores (o primeiro é igual a 3 2 e o segundo é igual a 3 3 )

1 27 0 4 12 4 - v 2 8 + 2 v - v 2 - 16 ( 4 - v 2 ) d v

= 4 27 0 4 3 8 + 2 v - v 2 4 - v 2 - 4 4 - v 3 d v

Vamos tentar simplificar essa integral fazendo uma mudança de variável, vamos chamar esse termo ( 4 - v ) de w :

4 - v = w

v = 0 w = 4

v = 4 w = 0

d v = - d w

8 + 2 v - v 2 = - ( 16 - 8 v + v 2 ) - 4 - v 2 + 6 4 - v = - w 2 + 6 w

Então nossa integral fica:

4 27 4 0 3 - w 2 + 6 w w 2 - 4 w 3 - d w

= - 4 27 4 0 - 3 w 4 + 18 w 3 - 4 w 3 d w

= 4 27 0 4 - 3 w 4 + 14 w 3 d w = 4 27 - 3 w 5 5 + 14 w 4 4 w = 0 w = 4

= 4 27 - 3072 5 + 896 = 4 27 1408 5 = 5632 135

Resposta

5632 135

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