Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

USP, Cálculo 3, P3 - 2013, Questão 1b

Seja F x , y , z = ( cos 2 z , cos 2 y ,   s e n   z ) e S a parte da superfície x = sen y + cos z limitada por z = 0 , z = 2 y = - 1 e y = 1 , orientada por N tal que N . i < 0 . Calcule

S   F . N d σ

Passo 1

Como temos x escrito bonitinho em função de z e y podemos parametrizar essa curva como

y = u

z = v

Precisamos achar o valor de z nessa bagunça, repara que temos

x = sen y + cos z

Então

x = sen u + cos v

Então teremos

σ u , v = sen u + cos v , u , v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos uma integral de superfície escalar, então precisamos achar a norma do vetor normal, primeiro vamos achar o vetor normal, ele vai ser

N u , v = σ u × σ v

Vamos começar achando as derivadas da parametrização

σ u = cos u , 1,0

σ θ = - sen v , 0,1

O vetor normal vai ser

N u , v = i j k cos u 1 0 - sen v 0 1

N u , v = 1 i + 0 j + 0 k - - sen v k - cos u j - 0 i

N u , v = 1 i - cos u j + sen v k

Como ele quer N i < 0 , esse vetor N está com os sinais trocados, porque

1 , - cos u , + sen v 1,0 , 0 = 1

O vetor normal vai ser

N u , v = - i + cos u j - sen v k

Podemos trocar o sinal a vontade, isso porque bastaria trocar a ordem do produto vetorial.

Passo 3

A Integral vai ficar

S   F . N d σ = D cos 2 v , cos 2 u , sen v - 1 , cos u , - sen v d u d v

Onde D é limitada por z = 0 , z = 2 y = - 1 e y = 1

Conseguimos perceber que u vai de - 1 à 1 porque é a limitação de y e z vai de 0 à 2 porque é a limitação de z

A integral vai finalmente ficar

0 2 - 1 1 - cos 2 v + cos 3 u - sen 2 v d u d v

0 2 - 1 1 - cos 2 v + sen 2 v + cos 3 u d u d v

0 2 - 1 1 - 1 + cos 3 u d u d v

A treta aqui é a integral de cos 3 θ

Passo 4

Vamos fazer essa integral aí

cos 3 u d u = cos u cos 2 u d u = cos u 1 - sen 2 u d u

Vamos fazer

sen u = a

Derivando

d a = cos u d u

A integral vai ficar

cos u 1 - sen 2 u d u = 1 - a 2 d a

1 - a 2 d a = a - a 3 3 + C

Voltando para u

a - a 3 3 + C = sen u - sen 3 u 3 + C

Como estamos com uma integral definida essa constante não vai entrar na conta, vamos voltar para a integral dupla

Passo 5

0 2 - 1 1 - 1 + cos 3 u d u d v

0 2 - u + sen u - sen 3 u 3 u = - 1 1 d v

0 2 - 1 + sen 1 - sen 3 1 3 - - - 1 + sen - 1 - sen 3 - 1 3 d v

0 2 - 1 + sen 1 - sen 3 1 3 - 1 - sen 1 - - sen 1 3 3 d v

0 2 - 1 + sen 1 - sen 3 1 3 - 1 - sen 1 + sen 3 1 3 d v

0 2 - 2 + 2 sen 1 - 2 3 sen 3 1 d v

- 2 + 2 sen 1 - 2 3 sen 3 1 v v = 0 2

- 2 + 2 sen 1 - 2 3 sen 3 1 2 - 0

- 4 + 4 sen 1 - 4 3 sen 3 1

Resposta

- 4 + 4 sen 1 - 4 3 sen 3 1

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