Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFRJ, Cálculo 3, P2 - 2017.2, Questão ME5

(5) Seja a , b e c positivos. O fluxo do campo vetorial F = 1 ,   b ,   c através da superfície do triângulo plano com vértices em 0 ,   0 ,   0 , a ,   0 ,   0 e 0 ,   b ,   c , orientada com normal cuja coordenada z é positiva, é igual a:

  1. 0
  2. 1
  3. - 1
  4. 2 a b c
  5. a b 2 c c 2 + b 2

Passo 1

Montemos primeiro a integral que o problema quer que calculemos e como ele quer um fluxo de uma função vetorial sobre uma superfície, só pode ser uma integral de superfície no caso vetorial !

F l u x o = S   F n   d S

Vamos lá, teremos que calcular essa integral de superfície aí na marra, mas não se preocupe que o passo a passo de resolução do modo diretão sempre nos ajuda ;)

  1. Parametrizar a superfície S pedida no problema
  2. Encontrar o termo n   d S

E aí? Bora? :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro precisamos parametrizar a superfície, mas quem é ela afinal?

Ora, basta seguir o enunciado que nos diz que a superfície é um triângulo com esses três pontos ( 0 ,   0 ,   0 , a ,   0 ,   0 e 0 ,   b ,   c ) no espaço:

Muito bem, então essa é a superfície (o plano):

Agora repare que não temos a sua equação, mas podemos encontrar, sabendo que a equação geral do plano no espaço é:

D 1 x + D 2 y + D 3 z + D 4 = 0

Substituindo esses três pontos nessa equação, podemos encontrar a equação dele:

0 ,   0 ,   0                   D 1 x + D 2 y + D 3 z + D 4 = 0          

  D 1 0 + D 2 0 + D 3 0 + D 4 = 0                 D 4 = 0

Jogando o outro ponto...

a ,   0 ,   0                                                 D 1 x + D 2 y + D 3 z = 0

  D 1 a + D 2 0 + D 3 0 = 0                 D 1 a = 0

Como a > 0 , então

D 1 = 0

Só falta o outro ponto...

0 ,   b ,   c                               D 2 b + D 3 c = 0                              

isolando um deles...

D 2 = - D 3 c b

e jogando na equação do plano que sabemos até agora ser D 2 y + D 3 z = 0 ...

- D 3 c b y + D 3 z = 0                 - c b y + z = 0

z = c b y

Eis que esse é o plano

Passo 3

Para parametriza-lo, como ele possoi uma equação explícita, podemos parametrizar utilizando a parametrização explícita, onde o x e o y variam livremente...

x = x

y = y

z = c b y

Ou seja...

σ x ,   y = x ,   y ,   c b y

onde x e y variam na projeção dessa superfície no plano x y :

Por hora, vamos só falar que eles variam nesse triângulo D aí ok?

x ,   y D

Passo 4

Temos agora que calcular o termo n   d S ...

n   d S = N   d x d y

O vetor normal, como parametrizamos explicitamente como gráfico de função ( z em função de x e y ), podemos calcula-lo utilizando o bizu:

N = - z x ,   - z y ,   1

Como z = c b y ...

N = 0 ,   - c b ,   1

Passo 5

Voltando para a integral que devemos resolver...

F l u x o = S   F n   d S

e trocarmos pelos ingredientes que encontramos até agora...

S   F n   d S = D   1 ,   b ,   c 0 ,   - c b ,   1 d x d y

Observe que trocamos S por D , afinal agora iremos resolver uma integral dupla no domínio de x e y . Mas, primeiro resolvendo esse produto escalar de dois vetores...

D   - c + c   d x d y = D   0   d x d y

Como é uma integral iterada seu resultado é...

D   0   d x d y = 0

Resposta

a )     0

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