Verifique que a função u x , y = ln ⁡ x 2 + y 2   é solução da equação de Laplace bidimensional ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu uma função de duas variáveis

u x , y = ln ⁡ x 2 + y 2

E pediu para mostrar que ela satisfaz a equação de Laplace

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

E agora?

A ideia é achar as parciais de segunda ordem de cada variável para depois jogar na equação. E depois? Depois é confiar que vai dar certo!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar calculando as parciais em x

u x , y = ln ⁡ x 2 + y 2

∂ u ∂ x = 1 x 2 + y 2 . 1 2 x 2 + y 2 . 2 x = x x 2 + y 2

E agora a parcial de segunda ordem

∂ 2 u ∂ x 2 = 1 . x 2 + y 2 - 2 x . x x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Beleza?

Agora vamos calcular as parciais em y

∂ u ∂ y = 1 x 2 + y 2 . 1 2 x 2 + y 2 . 2 y = y x 2 + y 2

E em segunda ordem

∂ 2 u ∂ y 2 = 1 . x 2 + y 2 - 2 y . y x 2 + y 2 2 = + x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Passo 3

Agora é só jogar tudo na equação!

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Do passo anterior

- x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 + + x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = 0

- x 2 + y 2 + x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = 0

0 = 0

Oba! Encontramos uma igualdade! Isso significa que a função dada é solução da equação!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1