Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 3, Questão 7

Passo 1

Vamos começar pela derivada parcial em relação a x .

Beleza, mas como diabos vamos derivar em relação a x se x está no expoente?!

Para fazer essa derivada parcial, vamos usar a derivação logarítmica. Assim:

Aplicamos l n dos dois lados:

ln ⁡ w = ln ⁡ y 2 + z 2 x

Usamos as propriedades do l n :

ln ⁡ w = x . ln ⁡ ( y 2 + z 2 )

Derivamos os dois lados, usando a regra da cadeia e do produto:

( ln ⁡ w ) ' = x . ln ⁡ ( y 2 + z 2 ) '

1 w . w ' = x ' . ln ⁡ y 2 + z 2 + ln ⁡ y 2 + z 2 ' . x

w ' w = 1 . ln ⁡ y 2 + z 2 + x . 1 y 2 + z 2 . y 2 + z 2 '

w ' = w ln ⁡ y 2 + z 2 + x y 2 + z 2 . y 2 + z 2 '

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, chegamos a expressão quase pronta da derivada. Mas, como estamos derivando em relação a x , temos que considerar apenas as derivadas em relação a x . Assim:

w x = w . ln ⁡ y 2 + z 2 + x y 2 + z 2 . 0

Sabemos que w = y 2 + z 2 x , então

w x = y 2 + z 2 x . ln ⁡ y 2 + z 2

Passo 3

Agora vamos fazer a derivada parcial em relação a y .

Essa é mais fácil, né? Porque agora o x que tá no expoente é considerado uma constante. Aí é só fazer a derivada normal como estamos acostumados.

Usando a regra da cadeia:

w y = x y 2 + z 2 x - 1 ∙ 2 y

w y = 2 x y y 2 + z 2 x - 1

Passo 4

Por fim, vamos terminar logo isso com a derivada parcial em relação a z .

Do mesmo jeito que fizemos no passo 2:

w z = x y 2 + z 2 x - 1 ∙ 2 z

w z = 2 x z y 2 + z 2 x - 1

Resposta

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