Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais e depois a gente substituiu todos os valores e faz a interpretação.

Primeiro derivada parcial em relação a x .

C x , y = 200 x 2 e - 0,02 y - 10 2 x 2 + e - 0,02 y + 10 2 x 2

∂ C ∂ x = - 2 . 200 x 3 e - 0,02 y - 10 2 x 2 + e - 0,02 y + 10 2 x 2 + 200 x 2 2 . 0,02 y - 10 2 x 3 e - 0,02 y - 10 2 x 2 + 2 . 0,02 x 3 e - 0,02 y + 10 2 x 2  

∂ C ∂ x = - 4 00 x 3 e - 0,02 y - 10 2 x 2 + e - 0,02 y + 10 2 x 2 + 200 x 2 0,04 y - 10 2 x 3 e - 0,02 y - 10 2 x 2 + 0,04 x 3 e - 0,02 y + 10 2 x 2  

Repara que usamos a regra do produto e da cadeia!

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Passo 2

Agora derivada parcial em relação a y .

C x , y = 200 x 2 e - 0,02 y - 10 2 x 2 + e - 0,02 y + 10 2 x 2

∂ C ∂ y = 200 x 2 - 2.0,02 y - 10 x 2 e - 0,02 y - 10 2 x 2 - 2.0,02 y + 10 x 2 e - 0,02 y + 10 2 x 2  

∂ C ∂ y = - 2.200.0,02 x 4 ( y - 10 ) e - 0,02 y - 10 2 x 2 + ( y + 10 ) e - 0,02 y + 10 2 x 2  

∂ C ∂ y = - 8 x 4 ( y - 10 ) e - 0,02 y - 10 2 x 2 + ( y + 10 ) e - 0,02 y + 10 2 x 2  

Passo 3

Agora vamos substituir os valores dados pela questão:

x = 2

y = 5

A derivada parcial em relação a x fica:

∂ C ∂ x = - 400 2 3 e - 0,02 5 - 10 2 2 2 + e - 0,02 5 + 10 2 2 2 + 200 2 2 0,04 5 - 10 2 2 3 e - 0,02 5 - 10 2 2 2 + 0,04 2 3 e - 0,02 5 + 10 2 2 2  

∂ C ∂ x = - 50 e - 0,125 + e - 1,125 + 50 0,125 e - 0,125 + 0,005 e - 1,125

∂ C ∂ x = - 43,75 e - 0,125 - 49,75 e - 1,125

∂ C ∂ x = - 36,5801

E a derivada parcial em relação a y fica:

∂ C ∂ y = - 8 2 4 ( 5 - 10 ) e - 0,02 5 - 10 2 2 2 + ( 5 + 10 ) e - 0,02 5 + 10 2 2 2  

∂ C ∂ y = - 0,5 - 5 e - 0,125 + 15 e - 1,125

∂ C ∂ y = 2,5 e - 0,125 - 7,5 e - 1,125

∂ C ∂ y = - 0 , 2287

Passo 4

Agora partindo pra interpretação...

A gente já sabe que derivada representa a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis.

Sendo assim, a derivada parcial em relação a x representa a taxa de variação da concentração do poluente em relação à variação da distância x quando x = 2   k m e a altura y = 5   m

E, a derivada parcial em relação a y representa a taxa de variação da concentração do poluente em relação à variação da altura y , quando y = 5 m e x = 2   k m .

Resposta

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