Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função h = f ( v , t ) são apresentados na tabela abaixo:

  1. Qual o significado das derivadas parciais ∂ h ∂ v e ∂ h ∂ t ?
  2. Estime os valores de f v ( 80,15 ) e f t ( 80 ,   15 ) . Quais são as interpretações práticas desses valores?
  3. Qual parece ser o valor do limite lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t ?

Passo 1

a )

A derivada parcial de h em relação a v representa a taxa de variação da altura h das ondas do mar em relação a velocidade do vento, considerando um determinado intervalo de t fixo.

Já a derivada parcial de h em relação a t representa a taxa de variação da altura h das ondas do mar em relação ao tempo de duração do vento, considerando que a velocidade do vento se manteve constante.

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Passo 2

b )

Queremos as derivadas parciais de f ( v , t ) no ponto ( 80 , 15 ) , certo?!

Vamos começar pela taxa de variação em relação a v .

Para isso, fixamos o valor de t como uma constante, igual 15. Assim, ficamos com uma função que depende só de v :

h = f ( v , 15 ) = g ( v )

Então, só precisamos calcular a derivada g ' no ponto v = 8 0 e teremos a taxa de variação de h em relação a v . Assim, pela definição de derivada de uma variável, para v = 8 0 :

g ' 80 = lim k → 0 ⁡ g 8 0 + k - g 8 0 k = lim k → 0 ⁡ f 8 0 + k , 15 - f 8 0 , 15 k = f x 8 0 , 15

Passo 3

Beleza, então agora é só substituir tudo e calcular esse limite. Mas, pera! A gente não tem a expressão de f , como vamos substituir então?

Bem, nesse caso, temos que fazer o k variar, por exemplo, fazendo k = ± 20 , para que possamos pegar os valores de f na tabela.

Depois, fazemos a média dos valores calculados quando fizemos k = 20 e k = - 20 para determinar a f x .

Parece confuso né? Mas olha só como é:

Fazendo primeiro k = 20 :

g ' 8 0 = lim k → 0 ⁡ f 80 + 20 , 15 - f 80,15 k = lim k → 0 ⁡ f 100 , 15 - f 80,15 20 = 11 - 7,7 20 = 0,165

Agora k = - 20 :

g ' 80 = lim k → 0 ⁡ f 8 0 - 20,15 - f 80,15 k = lim k → 0 ⁡ f 60 , 15 - f 80,15 - 20 = 4,9 - 7,7 - 20 = 0,1 4

Para achar f v ( 8 0 , 15 ) temos que fazer a média desses dois valores. Assim:

f v 8 0 , 15 = 0,165 + 0,14 2 = 0,15

Isso nos diz que quando a duração do vento é de 15 horas, a altura h aumenta de 0,15 k m a cada 20 k m / h .

Passo 4

Agora, para a taxa de variação em relação a y ,   fazemos a mesma coisa.

Considerando v constante e igual a 80, temos uma função que depende só de t :

h = f ( 80 , t ) = g ( t )

E então, para achar f y ( 8 0 , 15 ) , fazemos:

g ' 15 = lim k → 0 ⁡ g 15 + k - g 15 k = lim k → 0 ⁡ f 80,15 + k - f 80,15 k = f y 8 0 , 15

E, agora fazemos k = ± 5 , para poder pegar os valores na tabela e temos:

Para k = 5 :

g ' 15 = lim k → 0 ⁡ f 80,15 + 5 - f 80,15 k = lim k → 0 ⁡ f 8 0 , 20 - f 80,15 5 = 8,6 - 7,7 5 = 0 , 1 8

Para k = - 5

g ' 15 = lim k → 0 ⁡ f 80,15 - 5 - f 80,15 k = lim k → 0 ⁡ f 80 , 1 0 - f 80,15 - 5 = 6,4 - 7,7 - 5 = 0 , 26

Por fim, fazemos a média desses dois valores e temos que

f t 80,15 = 0,1 8 + 0 , 26 2 = 0,22

Isso nos diz que para a velocidade de 80 k m / h , a altura h da onda aumenta de 0,22 k m por cada 5 h de duração do vento.

Passo 5

c )

Olhando a tabela, vemos que, mantendo um v fixo, a medida que t cresce, parece que os valores de h tem uma variação muuuito pequena, quase zero. Então, parece que

lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t = 0

Resposta

b) f v 80,15 = 0,15

f t 80,15 = 0,22

c) lim t → ∞ ⁡ ∂ h ∂ t = 0

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