A altura de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento e do tempo durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função são apresentados na tabela abaixo:
- Qual o significado das derivadas parciais e ?
- Estime os valores de e . Quais são as interpretações práticas desses valores?
- Qual parece ser o valor do limite ?
Passo 1
A derivada parcial de em relação a representa a taxa de variação da altura das ondas do mar em relação a velocidade do vento, considerando um determinado intervalo de fixo.
Já a derivada parcial de em relação a representa a taxa de variação da altura das ondas do mar em relação ao tempo de duração do vento, considerando que a velocidade do vento se manteve constante.
Passo 2
Queremos as derivadas parciais de no ponto , certo?!
Vamos começar pela taxa de variação em relação a .
Para isso, fixamos o valor de como uma constante, igual 15. Assim, ficamos com uma função que depende só de :
Então, só precisamos calcular a derivada no ponto e teremos a taxa de variação de em relação a . Assim, pela definição de derivada de uma variável, para :
Passo 3
Beleza, então agora é só substituir tudo e calcular esse limite. Mas, pera! A gente não tem a expressão de , como vamos substituir então?
Bem, nesse caso, temos que fazer o variar, por exemplo, fazendo , para que possamos pegar os valores de na tabela.
Depois, fazemos a média dos valores calculados quando fizemos e para determinar a .
Parece confuso né? Mas olha só como é:
Fazendo primeiro :
Agora :
Para achar temos que fazer a média desses dois valores. Assim:
Isso nos diz que quando a duração do vento é de 15 horas, a altura h aumenta de a cada .
Passo 4
Agora, para a taxa de variação em relação a fazemos a mesma coisa.
Considerando constante e igual a 80, temos uma função que depende só de :
E então, para achar , fazemos:
E, agora fazemos , para poder pegar os valores na tabela e temos:
Para :
Para
Por fim, fazemos a média desses dois valores e temos que
Isso nos diz que para a velocidade de , a altura h da onda aumenta de por cada 5 de duração do vento.
Passo 5
Olhando a tabela, vemos que, mantendo um fixo, a medida que cresce, parece que os valores de tem uma variação muuuito pequena, quase zero. Então, parece que
Resposta
b)
c)
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais