Um arco não regular. Seja γ o arco dado por: r → t = t i → + t 2 sin ⁡ 1 t j → ,   0 < t ≤ 1 , e r → 0 = 0 → . Note que a coordenada y do arco γ é:

y t = t 2   sin ⁡ 1 t ,           s e   0 < t ≤ 1 0 ,                             s e   t = 0

Com derivada y ' t = 2 t sin ⁡ 1 t - cos ⁡ 1 t , para 0 < t ≤ 1 e y ' 0 = 0 .

Sendo esta derivada descontínua em t = 0 , concluímos que o caminho não é regular.

Passo 1

Oiee bora resolver mais essa comigo??

A questão trata de um caminho não regular, que é uma trajetória de uma partícula em movimento, onde a derivada da posição da partícula não é contínua em um ponto.

Vamos analisar o caminho especificado:

**Caminho γ(t):**

O caminho γ ( t ) é dado por:

r t - t i + t 2 sin ⁡ 1 t   j ,     0 < t ≤ 1

Aqui, temos um vetor posição r t que descreve a posição da partícula no plano X Y   em função do tempo t .

O vetor i   é uma unidade de vetor na direção x e j   é uma unidade de vetor na direção y.

Vamos focar na coordenada y deste caminho, que é dada por:

y t = t 2 sin ⁡ 1 t ,       0 < t ≤ 1

Aqui, y ( t ) é a coordenada y da partícula em função do tempo t .

Passo 2

**Derivada de y ( t ) :**

A derivada de y ( t ) em relação a t é dada por:

y ' t = d d t t 2 sin ⁡ 1 t

Esta é a taxa de variação da coordenada y   com relação ao tempo. Vamos calcular esta derivada:

Usando a regra do produto:

y ' t = t 2 d d t sin ⁡ 1 t + sin ⁡ 1 t d d t t 2  

A derivada da primeira parte envolve a função seno e requer cálculo de limite à medida que t   se aproxima de zero.

A derivada da segunda parte é mais simples:

y ' t = t 2 d d t sin ⁡ 1 t + sin ⁡ 1 t 2 t

Agora, o termo d d t sin ⁡ 1 t é o que nos causa problemas. Vamos calcular isso separadamente:

d d t sin ⁡ 1 t

Passo 3

Para calcular essa derivada, precisamos entender o comportamento da função seno quando seu argumento se aproxima de zero.

Quando t   se aproxima de zero, o argumento 1 / t se aproxima do infinito. O seno de um ângulo que se aproxima do infinito oscila rapidamente entre -1 e 1, e seu limite não existe.

Isso significa que d d t sin ⁡ ( 1 / t )   não tem um valor bem definido quando t = 0 .

Portanto, a derivada y ' ( t ) é descontínua em t = 0 , o que implica que o caminho não é regular.

Passo 4

**Definição de Caminho Regular:**

Um caminho r t é considerado regular em um intervalo I se sua derivada d r / d t é contínua e não nula em todo ponto t ∈ I .

Isso significa que a velocidade da partícula (a derivada da posição em relação ao tempo) não pode ser zero e não pode ter descontinuidades em I

No caso do caminho γ ( t ) que estamos analisando, a derivada y ' ( t ) é descontínua em t = 0 e, portanto, o caminho não é regular neste intervalo.

Resposta

Vide a explicação.

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