1. Calcule ∇ atan ⁡ y x   e   ∇ atan ⁡ x y
  2. Mostre que se f 1 , f 2 ,   f 3 : R → R são funções de classe C 1   e   F → = f 1 x ,   f 2 y , f 3 z , então F →   é   c o n s e r v a t i v o .

Passo 1

Para calcular os gradientes das funções, primeiro vamos encontrar as derivadas parciais de cada uma das funções com relação às suas variáveis.

Calculando ∇ a t a n y x   :

Vamos considerar a função   f x ,   y = atan ⁡ y x

As derivadas parciais são:

- Derivada parcial em relação a x :

∂ f ∂ x = - y x 2 + y 2

- Derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y = x x 2 + y 2

Portanto, o gradiente de f   é:

∇   f x ,   y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2

Passo 2

Calculando ∇ a t a n x y :

Vamos considerar a função g x ,   y = atan ⁡ x y

As derivadas parciais são:

- Derivada parcial em relação a x :

∂ g ∂ x = - 1 1 + x 2 y 2   ⋅ 1 y = y x 2 + y 2

- Derivada parcial em relação a y :

∂ g ∂ y = - x x 2 + y 2 ⋅ 1 y 2

Portanto, o gradiente de g   é:

∇   g x ,   y = y x 2 + y 2 , - x x 2 + y 2 ⋅ 1 y 2 = y x 2 + y 2 , - x y ( x 2 + y 2 )

Resposta

∇   g x ,   y = y x 2 + y 2 , - x x 2 + y 2 ⋅ 1 y 2 = y x 2 + y 2 , - x y ( x 2 + y 2 )

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