Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função:

b .   f x , y = ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x y 3

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu uma função e quer que a gente calcule suas derivadas parciais de primeira ordem: f x , y = ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x y 3

Passo 2

Começando com a derivada em relação a x , aqui a gente vai considerar y   uma constante:

∂ f ∂ x = ∂ ( ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x y 3 ∂ x

Para resolver essa derivada vamos precisar usar a regra da cadeia:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x

Vamos escolher nosso u como: u = 1 + cos 2 ⁡ x y 3

Então temos:

∂ f ∂ u = ∂ ln ⁡ u ∂ u = 1 u = 1 1 + cos 2 ⁡ x y 3

∂ u ∂ x = ∂ 1 + cos 2 ⁡ x y 3 ∂ x = - y 3 sin ⁡ 2 x y 3

Juntando tudo:

∂ f ∂ x = - y 3 sin ⁡ 2 x y 3 1 + cos 2 ⁡ x y 3

Passo 3

Agora vamos derivar com respeito a y !

∂ f ∂ y = ∂ ( ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x y 3 ∂ x

Vamos seguir a mesma lógica, a regra da cadeia!

u = 1 + cos 2 ⁡ x y 3

∂ f ∂ u = ∂ ln ⁡ u ∂ u = 1 u = 1 1 + cos 2 ⁡ x y 3

∂ u ∂ y = ∂ 1 + cos 2 ⁡ x y 3 ∂ y = - x sin ⁡ 2 x y 3

Agora a gente junta tudo:

∂ f ∂ y = - x sin ⁡ 2 x y 3 1 + cos 2 ⁡ x y 3

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

∂ f ∂ x = - y 3 sin ⁡ 2 x y 3 1 + cos 2 ⁡ x y 3

∂ f ∂ y = - x sin ⁡ 2 x y 3 1 + cos 2 ⁡ x y 3

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