Enunciado

(Cap 14.3 – Ex 11) Se f x ,   y = 16 - 4 x 2 - y 2 , encontre f x 1,2 e   f y ( 1,2 ) e interprete esses números como inclinações. Ilustre com esboços desenhados à mão ou gráficos de computador.

Passo 1

Falaiii, moçadinha, shwo de bola?

Bora resolver essa juntinho comigo?

Simboráaa

Sabemos que...

Para determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.

Passo 2

Seja f   x , y =   16 - 4 x 2 - y ² . Para determinar f x 1,2 , fixamos o valor de y e derivamos em relação a x . Assim, temos: f x =   - 8 x . Para determinar f y 1,2 , fixamos o valor de x e derivamos em relação a y. Assim, temos: f y =   - 2 y .

Passo 3

Agora basta substituir os valores de x e y, respectivamente, nas derivadas parciais encontradas.

f x ( 1,2 ) =   - 8 x =   - 8.1 =   - 8

f y 1,2 =   - 2 y =   - 2.2 =   - 4

Passo 4

Interpretação da derivada parcial: em determinado ponto, ela representa a inclinação da reta tangente ao ponto da curva obtida quando “cortamos” a função com um plano de um valor x ou y constantes. Veja as imagens a seguir, as quais irão auxiliar no seu entendimento.

Quando a derivada parcial é em relação a x:

Quando a derivada parcial é em relação a y:

Resposta

f x ( 1,2 ) =   - 8 x =   - 8.1 =   - 8

f y 1,2 =   - 2 y =   - 2.2 =   - 4

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