Considere f x , y = x y 3 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

  1. Verifique que ∂ f ∂ x 0 , y = y para todo y , e que ∂ f ∂ y x , 0 = 0 ,   para todo x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu uma função de duas variáveis definida por partes

f x , y = x y 3 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

E pediu para verificar que ∂ f ∂ x 0 , y = y e ∂ f ∂ y x , 0 = 0

e agora?

Para que uma parcial exista precisamos calcular ela onde ela ‘quebra’, ou seja, em zero! E pra isso precisamos usar a definição por limites

∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 ) = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f ( x 0 , y 0 ) x - x 0

∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) = lim y → 0 ⁡ f x 0 , y - f ( x 0 , y 0 ) y - y 0

Então a ideia é aplicar essas definições nos pontos dados!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite em x

∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 ) = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f ( x 0 , y 0 ) x - x 0

O ponto é 0 , y então

∂ f ∂ x 0 , y = lim x → 0 ⁡ f x , y - f ( 0 , y ) x - 0

A função é

f x , y = x y 3 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

Então

f 0,0 = 0

f 0 , y = 0 y 3 y 2 = 0

Aí o limite

∂ f ∂ x = lim x → 0 ⁡ x y 3 x 2 + y 2 - f ( 0 , y ) x = lim x → 0 ⁡ y 3 x 2 + y 2

Para x = 0

= y 3 y 2 = y  

Beleza?

Mostramos essa primeira parte!

Passo 3

Agora pra y

∂ f ∂ y x , 0 = lim y → 0 ⁡ f x , y - f ( x , 0 ) y - 0

Substituindo temos

∂ f ∂ y = lim y → 0 ⁡ x y 3 x 2 + y 2 - f ( 0 , y ) y = x y 2 x 2 + y 2

Quando y = 0 temos que esse limite é sempre 0 , independente do valor de x

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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