Dada h ( u ,   v ,   w )   =   f   ( x ( u ,   v ) ,   y ( v ) ,   z ( v ,   w ) )   escreva a regra da cadeia para ∂ h ∂ u , ∂ h ∂ v ,   ∂ h ∂ w .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão pede para a gente escrever a regra da cadeia para as derivadas da função h em relação à u, à v e à w. Bem, h é uma função dessas 3 variáveis através da função f que, por sua vez, é uma função das 3 variáveis x, y e z, que também são funções de u, v e w! Então, para saber como h varia com u, por exemplo, precisamos saber como f(x,y,z) varia com as variáveis x, y e z, e como elas variam em relação a u, acompanhou? Matematicamente, podemos escrever esse exemplo na forma:

∂ h ∂ u =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ u

Mas veja, nem todas as variáveis x, y e z dependem de u. Na realidade, apenas x depende pois x = x(u,v), enquanto que y só depende de v e z depende de ve e de w. Então, as derivadas de y e z em relação à u são nulas! ∂ y ∂ u = ∂ z ∂ u = 0 . Então, a derivada de h em relação à u é simplesmente:

∂ h ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u

Então agora só precisamos aplicar o mesmo raciocínio para as derivadas de h em relação à v e w. Vamos lá derivar em relação à v então!

Passo 2

Novamente, podemos escrever a variação de h em relação à v como a variação de f em relação às variáveis x, y e z e como x, y e z variam em relação à v. Assim, temos:

∂ h ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ v

Dessa vez, todas as variáveis x, y e z são funções de v. Então não podemos excluir nenhum termo da expressão acima, pois todas elas dependem de v. Assim, essa é a derivada de h em relação à v. Então, agora, só falta encontrar a expressão para a derivada de h em relação à w. Então vamos lá.

Passo 3

Mais uma vez, a gente começa escrevendo a variação de h em relação à w como a variação de f em relação a x, y e z e como essas últimas variáveis variam em relação à w. Dito de outra forma:

∂ h ∂ w = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ w + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ w + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ w

Dentre x,y e z, a única variável que depende de w é z, pois z = z(v,w), enquanto que x só depende de u e v, e y só depende de v. Então, as derivadas de x e de y em relação à w são nulas ∂ x ∂ w = ∂ y ∂ w = 0 . Então, a derivada de h em relação a w se reduz à

∂ h ∂ w = ∂ f ∂ z ∂ z ∂ w

Resposta

∂ h ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u

∂ h ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ v

∂ h ∂ w = ∂ f ∂ z ∂ z ∂ w

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