Dada a superfície de equação a x 2 - b x y + c o s z 3 - e z = 0 , para quais valores positivos de a e b o seu plano tangente no ponto P 0 = b , a , 0 é paralelo ao plano x - 2 y - z = 1 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão foi dada uma superfície descrita pela equação a x 2 - b x y + c o s z 3 - e z = 0 .

O objetivo é obter valores para a e b de modo que o plano tangente no ponto b , a , 0 seja paralelo ao plano x - 2 y - z = 1 .

E como fazemos para obter esse plano paralelo a x - 2 y - z = 1 ?

Temos uma formulinha que nos dá o plano tangente a uma superfície sabendo que o ponto P = b , a , 0 , ela é dada por

L x , y , x = f b , a , 0 + f x b , a , 0 x - b + f y b , a , 0 y - a + f z b , a , 0 z - 0 = 0

Grandinha, não é?

Mas relaxa, vai dar tudo certo!

Bora ver como é esse negócio?

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais da superfície a x 2 - b x y + c o s z 3 - e z = 0

f x = ∂ a x 2 - b x y + c o s z 3 - e z ∂ x

Por derivação polinomial, temos

f x = 2 a x 2 - 1 - b x 1 - 1 y + 0 c o s z 3 - 0 e z

f x = 2 a x - b y

Aplicando o ponto P , vamos obter

f x b , a , 0 = 2 a b - b a

f x b , a , 0 = a b

Agora calculando a derivada parcial com relação a y

f y = ∂ a x 2 - b x y + c o s z 3 - e z ∂ y

Também por integração polinomial, temos

f y = 0 a x 2 - b x y 1 - 1 + 0 c o s z 3 - 0 e z

f y = - b x

Substituindo o ponto P

f y b , a , 0 = - b 2

Por último, derivando com relação a z

f z = ∂ a x 2 - b x y + c o s z 3 - e z ∂ z

Pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora, temos

f z = 0 a x 2 - 0 b x y - 3 z 2 s e n z 3 - e z

f z = - 3 z 2 s e n z 3 - e z

Aplicando o ponto P

f z b , a , 0 = - 3 0 2 s e n 0 3 - e 0

f z b , a , 0 = - 1

Tranquilo até aqui?

Passo 3

O próximo passo é calcular f b , a , 0

f b , a , 0 = a b 2 - b b a + c o s 0 3 - e 0

f b , a , 0 = a b 2 - b 2 a + 1 - 1

f b , a , 0 = 0

Substituindo esses resultados na formulinha que vimos no início, temos

L x , y , x = 0 + a b x - b - b 2 y - a - 1 z - 0 = 0

Logo o plano tangente a superfície é dada por

a b x - b 2 y - z - a b 2 + a b 2 = 0

a b x - b 2 y - z = 0

Agora vamos lembrar um pouco sobre planos paralelos!

Dado um plano p x + n y + m z = g o vetor normal a esse plano é dado pelos valores que estão multiplicando as variáveis x , y , z , ou seja, o vetor normal a esse plano é dado por p , n , m .

Se dois planos não paralelos, o que podemos dizer dos seus vetores normais? 🤔

Eles devem ser iguais ou múltiplos, não é?

Ou seja, para descobrir os valores de a e b o que está multiplicado em x deve estar multiplicado em x também no outro plano a mesma coisa em y e em z . Logo

a b x - b 2 y - z = 0 x - 2 y - z = 1

Podemos dizer que

a b = 1 - b 2 = - 2 - 1 = - 1

Resolvendo esse sistema, temos

a 2 = 1 b = 2

a = 1 2 b = 2

Encontramos os valores para a e b !

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a = 1 2 b = 2

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