Determine as derivadas ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y da função z = u 2 + v 2 + 5 sendo u = cos ⁡ x e v = s e n   y

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essa função aqui

z = u 2 + v 2 + 5

E pediu as derivadas parciais

∂ z ∂ x       e     ∂ z ∂ x

E quem são esses x e y ?

w depende de u   e   v , mas essas variáveis por sua vez dependem de x e y através dessas relações aqui:

u = cos ⁡ x

v = s e n   y

Agora sim faz sentido calcular essas parciais! Precisamos calcular a parcial das variáveis u , v   em relação a x e y (uma de cada vez) e depois a parcial de z em relação a u e v . E montar essa expressão aqui:

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ v . ∂ v ∂ x + ∂ z ∂ u . ∂ u ∂ x

E

∂ z ∂ y = ∂ z ∂ v . ∂ v ∂ y + ∂ z ∂ u . ∂ u ∂ y

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos calcular primeiro as parciais! Para facilitar nossa vida! Começando pela parcial de z com as variáveis v e u :

z = u 2 + v 2 + 5

Parcial em v :

∂ z ∂ v = - v u 2 + v 2 + 5

Agora em u :

∂ z ∂ u = - u u 2 + v 2 + 5

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos derivar parcialmente u , v em relação às variáveis x e y . Primeiro em x :

u = cos ⁡ x

v = s e n   y

∂ u ∂ x = - s e n   x ; ∂ v ∂ x = 0

E agora em y :

∂ u ∂ y = 0 ; ∂ v ∂ y = cos ⁡ y

Beleza?

Vamos calcular as parciais de z agora?

Passo 4

Voltando para a parcial de z em x :

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ v . ∂ v ∂ x + ∂ z ∂ u . ∂ u ∂ x

E vamos resgatar os resultados das parciais que calculamos nos passos anteriores:

∂ u ∂ x = - s e n   x ; ∂ v ∂ x = 0

E

∂ z ∂ v = - v u 2 + v 2 + 5

E

∂ z ∂ u = - u u 2 + v 2 + 5

Agora vamos substituir!

∂ z ∂ x = - v u 2 + v 2 + 5 . 0 + - u u 2 + v 2 + 5 . ( - s e n   x )

E agora substituir as expressões correspondentes de u , v em x , y :

u = cos ⁡ x

v = s e n   y

∂ z ∂ x = u .   s e n   x u 2 + v 2 + 5 = cos ⁡ x   s e n   x cos 2 ⁡ x + s e n 2 x + 5 = cos ⁡ x   s e n   x 6

∂ z ∂ x = cos ⁡ x   s e n   x 6

Passo 5

Agora vamos calcular a parcial de z em relação a y :

∂ z ∂ y = ∂ z ∂ v . ∂ v ∂ y + ∂ z ∂ u . ∂ u ∂ y

E vamos resgatar os resultados das parciais que calculamos nos passos anteriores:

∂ u ∂ y = 0 ; ∂ v ∂ y = cos ⁡ y

E

∂ z ∂ v = - v u 2 + v 2 + 5

E

∂ z ∂ u = - u u 2 + v 2 + 5

Agora vamos substituir!

∂ z ∂ y = - v u 2 + v 2 + 5 . cos ⁡ y + - u u 2 + v 2 + 5 . ( 0 )

E agora substituir as expressões correspondentes de u , v em x , y :

u = cos ⁡ x

v = s e n   y

∂ z ∂ y = v .   c o s   y u 2 + v 2 + 5 =   s e n   y cos ⁡ y cos 2 ⁡ x + s e n 2 x + 5 =   s e n   y cos ⁡ y 6

∂ z ∂ y =   s e n   y cos ⁡ y 6

Beleza?

Ufa! Agora sim! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

∂ z ∂ x = cos ⁡ x   s e n   x 6

∂ z ∂ y =   s e n   y cos ⁡ y 6

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