11 - Determine o maior conjunto aberto no qual f x y = f y x nos seguintes casos:

b) f x , y = x 2 + y 2 - 1 ;

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Para essa questão, devemos determinar o maior conjunto aberto onde f x y = f y x , onde

f x , y = x 2 + y 2 - 1

Ok, mas você sabe o que é um conjunto aberto?

Digamos que você tenha uma barra de ferro e coloque uma borracha em cima dessa barra em qualquer lugar que não seja nas extremidades. Quando fazemos isso, percebemos que a vizinhança da borracha também está em cima da barra.

Porém, quando colocamos a borracha na extremidade da barra de ferro, vemos que nem toda a vizinhança da borracha está em cima da barra.

É assim que podemos imaginar um conjunto aberto! Quando temos um ponto em um conjunto e todas as vizinhanças do ponto também estão contidas no conjunto, dizemos que o conjunto é aberto.

Já quando nem todas as vizinhanças do ponto estão contidas no conjunto, é porque o ponto não faz parte do conjunto aberto.

Com isso, o enunciado já nos disse que f x y = f y x , vamos encontra-la e obter os valores que fazem ela ser aberta.

Entendeu? Bora para os cálculos! 😎

Passo 2

Vamos calcular f x y , pra isso, vamos derivar f com relação a x e depois derivamos o resultado com relação a y .

f x = ∂ x 2 + y 2 - 1 ∂ x

Aplicando a regra da cadeia, onde a derivada é dada pela derivada de dentro multiplicado pela derivada de fora, ou seja

∂ x 2 + y 2 - 1 ∂ x = ∂ x 2 + y 2 - 1 ∂ x · ∂ u ∂ u

Por derivação de polinômios

f x = 2 x · 1 2 u 1 2 - 1

f x = x · u - 1 2

Substituindo u por x 2 + y 2 - 1 de volta, temos

f x = x x 2 + y 2 - 1

A partir desse resultado, vamos derivar com relação a y .

x se comporta como uma constante, então podemos bota-la para fora da derivada

f x y = ∂ x x 2 + y 2 - 1 ∂ y = x ∂ 1 x 2 + y 2 - 1 ∂ y

∂ 1 x 2 + y 2 - 1 ∂ y = ∂ x 2 + y 2 - 1 - 1 2   ∂ y

Aplicando a regra da cadeia novamente

∂ x 2 + y 2 - 1 - 1 2   ∂ y = ∂ x 2 + y 2 - 1   ∂ y · ∂ u - 1 2   ∂ u

Por derivada de polinômios

f x y = x 2 y · - 1 2 u - 1 2 - 1

Organizando a resposta e substituindo u por x 2 + y 2 - 1

f x y = - x y x 2 + y 2 - 1 3 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para f x y ou f y x ser aberta, ela deve ser definida e analisando a função

f x y = - x y x 2 + y 2 - 1 3 2

Vamos escrever f x y de outra forma

f x y = - x y x 2 + y 2 - 1 3

Vemos que f x y não será definida se seu denominador for igual a 0 e não fará parte do conjunto dos números reais se a raiz for de um número negativo.

Ou seja, x 2 + y 2 - 1 tem que ser diferente de 0 e não pode ser negativa.

Então podemos definir que f x y ou f y x é aberta se x 2 + y 2 - 1 > 0 !

Escrevendo isso de forma mais didática, S é o conjunto dos números x , y , logo

S ⊆ R 2 x 2 + y 2 > 1

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

S ⊆ R 2 x 2 + y 2 > 1

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