Determine o ponto sobre o gráfico da função f x , y = 1 - x 2 - 2 y 2 onde o plano tangente é paralelo a plano 3 x - y + 3 z = 1 . Determine também a equação do plano tangente.

Passo 1

Eaeeee, belezinha???

Seguinte... nessa questão temos uma função de duas variáveis, f ( x , y ) , dada por:

f x , y = 1 - x 2 - 2 y 2

Sabemos que, para cada um dos pares ( x 0 ,   y 0 ) podemos determinar um plano tangente a f . O objetivo da questão é que calculemos o par ( x 0 ,   y 0 ) cujo plano tangente a f nesse ponto é paralelo ao plano:

3 x - y + 3 z = 1

Sacou a ideia?

Mas... como podemos fazer isso?

Passo 2

Bom, sabemos que de forma geral, um plano tangente qualquer a f ( x , y ) é dado por:

z - f x 0 ,   y 0 = f x x 0 ,   y 0 x - x 0 + f y ( x 0 ,   y 0 ) ( y - y 0 )

onde:

f x x 0 , y 0 = ∂ f x 0 , y 0 ∂ x

Logo:

f x x 0 , y 0 =   - 2 x 0

Analogamente, temos:

f y x 0 , y 0 = ∂ f x 0 , y 0 ∂ y

⇒ f y x 0 , y 0 =   - 4 y 0

Daí, substituindo na equação geral do plano tangente, temos:

z - z 0 = - 2 x 0 x - x 0 + - 4 y 0 y - y 0

Fazendo z 0 = f x 0 , y 0 = 1 - x 0 2 - y 0 2 , vem:

z - 1 - x 0 2 - 2 y 0 2 = - 2 x 0 x - x 0 + - 4 y 0 y - y 0

Manipulando a expressão:

z - 1 + x 0 2 + 2 y 0 2 = - 2 x 0 x + 2 x 0 2 - 4 y 0 y + 4 y 0 2 ∴

2 x 0 x + 4 y 0 y + z = x 0 2 + 2 y 0 2 + 1

Massa! Essa é a equação para um plano tangente à f em um ponto genérico ( x 0 , y 0 ). O que queremos saber agora é qual ponto ( x 0 , y 0 ) nos dá um plano que também é paralelo a:

3 x - y + 3 z = 1

Passo 3

Para que esse plano seja paralelo ao plano 3 x - y + 3 z = 1 , o vetor normal de um plano deve ser a combinação linear do outro. Dessa forma, temos:

< 2 x 0 ,   4 y 0 ,   1 >   = λ ∙ < 3 , - 1,3 >

Logo:

∴ 2 x 0 = 3 λ 4 y 0 = - λ 1 = 3 λ

Daí, pela última equação temos:

λ = 1 3

Substituindo nas outras duas, encontramos:

x 0 = 1 2 e y 0 = - 1 12

Passo 4

Com esses valores de x 0 e y 0 , temos para z 0 :

f x , y = z 0 = 1 - x 0 2 - 2 y 0 2 ∴

z 0 = 1 - 1 2 2 - 2 - 1 12 2 ∴

z 0 = 53 72

Portanto, o ponto de tangência é 1 2 , - 1 12 , 53 72 .

E o plano é dado por:

2 x 0 x + 4 y 0 y + z = x 0 2 + 2 y 0 2 + 1 ∴

x - y 3 + z = 91 72

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

1 2 , - 1 12 , 53 72

x - y 3 + z = 91 72

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