Determine ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y para as seguintes funções de duas variáveis

f )   f x , y = x   s e n ( y ) cos ⁡ ( x 2 + y 2 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema deu essa função aqui de duas variáveis:

f x , y = x   s e n ( y ) cos ⁡ ( x 2 + y 2 )

E pediu para calcularmos as derivadas parciais

∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Mas como calcular isso?

Quando temos uma função de várias variáveis e queremos descobrir qual é a derivada dela em relação a uma, nós consideramos as outras como constantes! Isso mesmo!

Quando vamos calcular ∂ f / ∂ x , por exemplo, vamos considerar y como se fosse um número. Assim vamos derivar APENAS a variável x , conforme todas as regras que já conhecemos

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ f / ∂ x . Nossa função é

f x , y = x   s e n ( y ) cos ⁡ ( x 2 + y 2 )

E vamos considerar y como constante! Então a derivada não é aplicada nele! Só na parte em x ! Mas temos x tanto no numerador quanto no denominador, então vamos precisar usar a regra do quociente!

∂ f ∂ x = s e n y . cos ⁡ ( x 2 + y 2 ) - x   s e n y . [ - s e n x 2 + y 2 .   2 x ] cos ⁡ x 2 + y 2 2

Aí a derivada parcial é:

∂ f ∂ x = s e n y cos ⁡ x 2 + y 2 + 2 x 2 s e n x 2 + y 2 cos 2 ⁡ ( x 2 + y 2 )

E é isso! Beleza?

Agora vamos calcular a outra parcial? Bora lá!

Passo 3

Agora vamos considerar x constante! Novamente vamos usar a regra do quociente! A função é:

f x , y = x   s e n ( y ) cos ⁡ ( x 2 + y 2 )

Derivando em y temos:

∂ f ∂ y = x cos ⁡ ( y ) . cos ⁡ ( x 2 + y 2 ) - x   s e n y . [ - s e n x 2 + y 2 .   2 y ] cos ⁡ x 2 + y 2 2

E simplificando:

∂ f ∂ y = x cos ⁡ ( y ) cos ⁡ ( x 2 + y 2 ) + 2 x y   s e n y   s e n ( x 2 + y 2 ) cos ⁡ x 2 + y 2 2

E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

∂ f ∂ y = x cos ⁡ ( y ) cos ⁡ ( x 2 + y 2 ) + 2 x y   s e n y   s e n ( x 2 + y 2 ) cos ⁡ x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = s e n y cos ⁡ x 2 + y 2 + 2 x 2 s e n x 2 + y 2 cos 2 ⁡ ( x 2 + y 2 )

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