Determine a taxa de variação máxima de

f x ,   y = sin ⁡ x y

no ponto ( 1 ,   0 ) e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar a taxa de variação máxima da função de duas variáveis f x ,   y = sin ⁡ x y no ponto ( 1 ,   0 ) e a direção em que isso ocorre.

Pra descobrir a taxa de variação máxima da função, nós vamos precisar calcular o módulo do vetor gradiente ∇ f ( x ,   y )   , porque o valor máximo da derivada direcional ocorre na direção do vetor gradiente. Então, vamos utilizar a equação:

∇ f x ,   y = ( f x ,   f y )

Onde f x é a derivada parcial de f em relação a x e f y é a derivada parcial de f em relação a y .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente de f x ,   y = sin ⁡ x y :

∇ f x ,   y = y cos ⁡ x y ,   x cos ⁡ x y

No ponto x ,   y = ( 1 ,   0 ) , temos:

∇ f 1 ,   0 = 0 ∙ cos ⁡ 1 ∙ 0 , 1 ∙   cos ⁡ ( 1 ∙ 0 )

∇ f 1 ,   0 = ( 0 ,   1 )

Para calcular a taxa máxima de variação, vamos calcular o módulo desse vetor:

∇ f ( 1 ,   0 )   = 0 2 + 1 2 = 1

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∇ f ( 1 ,   0 )   = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1