As dimensões de uma caixa retangular fechada foram medidas como 80 c m ,   60 c m e 50 c m , respectivamente, com erro máximo de 0,2 em cada dimensão. Utilize diferenciais para estimar o máximo percentual de erro no cálculo da área da superfície da caixa

Passo 1

Oi, tudo bem? Esse problema parece complicado, mas vou te ajudar! Temos uma caixa fechada com dimensões 80 c m ,   60 c m ,   50 c m , tipo assim

E em cada dimensão temos um erro máximo de 0,2 c m . O problema pede para usar diferenciais e estimar o erro percentual no cálculo da área da superfície dessa caixa

É o que?

O erro percentual de alguma função é calculado assim

E = d f f × 100 %  

Onde d f é o diferencial, ou seja, a derivada da função. Queremos saber o erro no cálculo da área superficial, então nossa função é aquela que representa a área da superfície dessa caixa!

Digamos que nossa caixa tenha dimensões x , y , z , então a função área vai ser

A = 2 ( x y + x z + y z )

Lembrando que é uma caixa fechada, então contamos duas vezes todas as faces!

E o diferencial d A vai ser o erro máximo da área, dado por:

d A = δ A δ x d x + δ A δ y d y + δ A δ z d z

E os diferenciais d x , d y , d z são os erros máximos das dimensões x , y , z , ou seja, 0,2 c m em cada dimensão!

E em que ponto vamos aplicar essa derivada? No ponto em que as dimensões sejam os valores medidos, ou seja:

( x , y , z ) = ( 80 c m ,   60 c m ,   50 c m )

Tranquilo?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos dizer que a altura da caixa é z , o comprimento é x e a largura é y , então a área da sua área é

A x , y , z = 2 x y + 2 x z + 2 y z

= 2 ( x y + x z + y z )

Para estimar o erro usando diferencial, vamos achar as derivadas parciais

A x = δ A δ x = 2 ( y + z )

A y = δ A δ y = 2 ( x + z )

A z = δ A δ z = 2 ( x + y )

Então temos

d A = δ A δ x d x + δ A δ y d y + δ A δ z d z

d A = 2 y + z d x + 2 x + z d y + 2 x + y d z

d A = 2 y + z d x + x + z d y + x + y d z

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Como o enunciado nos diz que o erro máximo de aferição é de 0,2 c m , vamos usar d x = d y = d z = 0,2 , para estimar o máximo de erro, assim

d A = 2 y + z d x + x + z d y + x + y d z

Com x = 80 c m ,   y = 50 c m e z = 60 c m , agora é só substituir!

d A = 2 60 + 50 0,2 + 80 + 50 0,2 + 80 + 60 0,2

d A = 2 ⋅ 0,2 60 + 50 + 80 + 50 + 80 + 60

d A = 0,4 110 + 130 + 140

d A = 152   c m 2

Esse é nosso erro no diferencial! Agora nossa missão é encontrar o erro percentual

Passo 4

O erro percentual é

E = d A A × 100 %  

Do passo 3 : d A = 152 c m 2 , mas precisamos saber a área quando as dimensões são x = 80 c m ,   y = 50 c m e z = 60 c m :

A = 2 x y + x z + y z = 2 80.50 + 80.60 + 50.60 = 23600 c m 2

Agora o erro percentual é

E = 152 23600 × 100 % = 0,4 %

E é isso galera! Vamos para a próxima?

Resposta

0,4 %

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1