5] Encontrar as derivadas parciais correspondentes em cada caso

(1) f x , y , z = 4 x y z + ln ⁡ 2 x y z ; ∂ z f x , y , z

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema, temos que obter a derivada parcial da função f x , y , z = 4 x y z + ln ⁡ 2 x y z com relação a z

E aí, tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando derivamos parcialmente uma função de várias variáveis, temos que fazer as variáveis que não é derivada se comportar como uma constante, assim derivamos normalmente como uma função de uma única variável.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Temos que derivar f em função de z , ou seja, x e y se comportam como constantes.

∂ z f x , y , z = ∂ 4 x y z + ln ⁡ 2 x y z ∂ z

∂ z f x , y , z = ∂ 4 x y z ∂ z + ∂ ln ⁡ 2 x y z ∂ z

Pelo método de derivação polinomial, sabemos que

∂ 4 x y z ∂ z = 4 x y

Já pela regra da cadeia, a derivada de ln ⁡ 2 x y z é dada por

∂ ln ⁡ 2 x y z ∂ z = ∂ 2 x y z ∂ z · ∂ ln ⁡ u ∂ u

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∂ 2 x y z ∂ z = 2 x y

∂ ln ⁡ u ∂ u = 1 u

∂ ln ⁡ 2 x y z ∂ z = 2 x y · 1 u

Substituindo em ∂ z f x , y , z voltando u para 2 x y z

∂ z f x , y , z = ∂ 4 x y z ∂ z + ∂ ln ⁡ 2 x y z ∂ z

∂ z f x , y , z = 4 x y + 2 x y · 1 u

∂ z f x , y , z = 4 x y + 2 x y · 1 2 x y z

∂ z f x , y , z = 4 x y + 1 z

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∂ z f x , y , z = 4 x y + 1 z

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