Encontre as derivadas parciais, como se fossem derivadas ordinárias, considerando constantes todas menos uma das variáveis.

(3) f θ ,   ϕ = sin ⁡ ( 3 θ ) cos ⁡ ( 2 ϕ ) ;

D 2 f ( θ ,   ϕ )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação ϕ , como se fossem derivadas ordinárias. Isso quer dizer que vamos variar apenas ϕ e considerar as outras variáveis como constantes na derivação.

A gente sabe que essa derivada é em relação a ϕ por causa da notação D 2 f ( θ ,   ϕ ) , que corresponde a derivada da segunda variável da função, e também pode ser escrita na forma ∂ ∂ ϕ   f ( θ ,   ϕ ) .

Para a função f θ ,   ϕ = sin ⁡ ( 3 θ ) cos ⁡ ( 2 ϕ ) , vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia na derivação também. Derivando a função de fora aplicada na função de dentro e multiplicando pela derivada da função de dentro.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f θ ,   ϕ = sin ⁡ ( 3 θ ) cos ⁡ ( 2 ϕ ) em relação a ϕ , considerando θ constante:

∂ ∂ ϕ   f θ ,   ϕ = ∂ ∂ ϕ sin ⁡ ( 3 θ ) cos ⁡ ( 2 ϕ )

Vamos derivar usando a regra do produto (derivada do primeiro termo vezes o segundo termo, mais derivada do segundo termo vezes o primeiro termo):

∂ ∂ ϕ   f θ ,   ϕ = ∂ ∂ ϕ sin ⁡ 3 θ ∙ cos ⁡ 2 ϕ + ∂ ∂ ϕ cos ⁡ 2 ϕ ∙ sin ⁡ 3 θ

Em ∂ ∂ ϕ sin ⁡ 3 θ , nossa função não depende de ϕ , então a derivada em relação a ele é zero. Já em ∂ ∂ ϕ cos ⁡ 2 ϕ , derivamos usando a Regra da Cadeia (derivando o cosseno aplicado no mesmo argumento, que é 2 ϕ , e multiplicando pela derivada do argumento). Assim, temos:

∂ ∂ ϕ   f θ ,   ϕ = 0 + ( - 2 sin ⁡ ( 2 ϕ ) ) ∙ sin ⁡ 3 θ

∂ ∂ ϕ   f θ ,   ϕ = - 2 sin ⁡ ( 2 ϕ ) sin ⁡ 3 θ

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ ∂ ϕ   f θ ,   ϕ = - 2 sin ⁡ ( 2 ϕ ) sin ⁡ 3 θ

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1