10 - Uma função w = f x , y , z com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = 0 é dita harmônica. Qual das funções abaixo são harmônicas?

a) f x , y , z = g x , y = x 3 - 3 x y 2 ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão, foi dito que uma equação é considerada harmônica quando a Equação de Laplace é satisfeita.

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = 0

A função que vamos verificar essa condição, é dada como

f x , y , z = g x , y = x 3 - 3 x y 2

Ok, mas como vamos calcular essa Equação de Laplace?? 🤔🤔

A Equação de Laplace é formada delas derivadas parciais de segunda ordem das variáveis de w , ou seja

∂ 2 w ∂ x 2 , ∂ 2 w ∂ y 2   e   ∂ 2 w ∂ z 2

Quando a soma dessas derivações é igual a 0 , a função w é considerada harmônica.

Algo que pode nos confundir, é que a função foi dada como f = g , onde g é uma função de x e y . Porém w = f , logo, w = f = g , ou seja

w = x 3 - 3 x y 2

Vamos começar a construir nossa equação? Me acompanhe!

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a segunda derivada de w com relação a x , ∂ 2 w ∂ x 2 . Mas pra isso, precisamos encontrar a primeira derivada de w com relação a x

w = x 3 - 3 x y 2

∂ w ∂ x = ∂ x 3 - 3 x y 2 ∂ x

Por derivada de polinômios, o expoente cai multiplicando e é subtraído a 1 . Como estamos derivando com relação a x , a variável y se comporta como uma constante.

∂ x 3 - 3 x y 2 ∂ x = 3 x 2 - 3 y 2

Encontramos nossa primeira derivada como

∂ w ∂ x = 3 x 2 - 3 y 2

O próximo passo é calcular a segunda derivada de w com relação a x , pra isso, vamos derivar ∂ w ∂ x com relação a x .

∂ 2 w ∂ x 2 = ∂ ∂ w ∂ x ∂ x = ∂ 3 x 2 - 3 y 2 ∂ x

Assim como a primeira derivada, vamos aplicar a derivação de polinômios e considerando y como uma constante.

∂ 3 x 2 - 3 y 2 ∂ x = 6 x

Com isso, encontramos a segunda derivada de w com relação a x , como

∂ 2 w ∂ x 2 = 6 x

Entendeu?

Passo 3

Temos o primeiro valor da nossa equação. Agora vamos calcular a segunda derivada de w com relação a y .

Assim como fizemos em x , vamos calcular a derivada de w com relação a y e apartir do resultado, derivar novamente com relação a y .

∂ w ∂ y = ∂ x 3 - 3 x y 2 ∂ y

Por derivação de polinômios e considerando x como uma constante, temos

∂ x 3 - 3 x y 2 ∂ y = - 6 x y

Com esse resultado, calculamos a segunda derivada

∂ 2 w ∂ y 2 = ∂ ∂ w ∂ y ∂ y = ∂ - 6 x y ∂ y

Novamente por derivação de polinômios e considerando x como constante, obtemos

∂ - 6 x y ∂ y = - 6 x

Ou seja, nosso segundo valor da equação é

∂ 2 w ∂ y 2 = - 6 x

Interessante, não?

Passo 4

Por fim, vamos obter nosso último valor da equação a segunda derivada de w com relação a z .

Pra isso, vamos calcular a primeira derivada.

∂ w ∂ z = ∂ x 3 - 3 x y 2 ∂ z

Nesse caso, w não depende de z , logo as variáveis x e y são consideradas constantes. Como bem sabemos, a derivada de uma constante é 0 , ou seja

∂ w ∂ z = 0

Logo a segunda derivada de w com relação a z também é 0 .

∂ 2 w ∂ z 2 = 0

com isso, podemos substituir os valores que obtemos para a nossa equação

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = 0

Como vimos

∂ 2 w ∂ x 2 = 6 x ∂ 2 w ∂ y 2 = - 6 x ∂ 2 w ∂ z 2 = 0

Substituindo esses valores na equação, temos

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = 6 x + - 6 x + 0

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = 6 x - 6 x

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = 0

A soma das derivadas parciais de segunda ordem de w é igual a 0 , logo a função w é harmônica!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

w é harmônica.

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1