10 - Uma função w = f x , y , z com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = 0 é dita harmônica. Qual das funções abaixo são harmônicas?

b) f x , y , z = g x , y = e x s e n y + e y cos ⁡ y ;

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Para essa questão, nos trouxeram um conceito sobre a Equação de Laplace. Quando a soma das derivadas parciais de segunda ordem da função w é igual a 0

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = 0

A função w é considerada harmônica.

Com isso, nos pediram para verificar se a função w é harmônica.

w é dada como w =   f x , y , z , ou seja

w = f x , y , z = g x , y = e x s e n y + e y cos ⁡ y

w = e x s e n y + e y cos ⁡ y

Conseguiu compreender o que temos que fazer?? 🤔

De forma resumida, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função w e verificar se a soma dessas derivadas vai ser igual a 0 .

Bora para os cálculos então!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada segunda (de ordem 2) de w com relação a x .

Mas antes, precisamos calcular a derivada de primeira ordem

∂ w ∂ x = ∂ e x s e n y + e y cos ⁡ y ∂ x

Lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas, então

∂ e x s e n y + e y cos ⁡ y ∂ x = ∂ e x s e n y ∂ x + ∂ e y cos ⁡ y ∂ x

Como estamos derivando em relação a x , a variável y se comporta como constante. Dessa forma, na primeira derivada s e n y é tratada como uma constante, então pode sair da derivação

s e n y ∂ e x ∂ x

A derivada de e x , é o próprio e x , então

s e n y ∂ e x ∂ x = e x s e n y

Para a segunda derivada, e y cos ⁡ y é tratada como uma constante e como sabemos, a derivada de uma constante é 0

∂ e y cos ⁡ y ∂ x = 0

Logo

∂ w ∂ x = e x s e n y

Agora, vamos calcular a segunda derivada de w com relação a x , pra isso vamos derivar o resultado que encontramos anteriormente

∂ 2 w ∂ x 2 = ∂ ∂ w ∂ x ∂ x = ∂ e x s e n y ∂ x

Acabamos de calcular a derivada de e x s e n y , lembra? O s e n y é constante e sai da derivação e a derivada de e x é igual a e x .

∂ 2 w ∂ x 2 = e x s e n y

Entendeu a lógica?

Passo 3

Com o primeiro termo da nossa equação encontrada, vamos calcular a derivada segunda de w com relação a y . Antes, vamos calcular a primeira derivada.

∂ w ∂ y = ∂ e x s e n y + e y cos ⁡ y ∂ y

Assim como antes, podemos separar a derivada da soma pela soma da derivada.

∂ e x s e n y + e y cos ⁡ y ∂ y = ∂ e x s e n y ∂ y + ∂ e y cos ⁡ y ∂ y

Como estamos derivando com relação a y , agora é a vez de x se comportar como uma constante.

Assim, na primeira derivada, e x é uma constante, então pode sair pra fora da derivada.

e x ∂ s e n y ∂ y

Restando a derivada do s e n y , que como sabemos, é igual ao cos ⁡ y , ou seja

e x ∂ s e n y ∂ y = e x cos ⁡ y

A outra derivada pode ser um pouiquiiiinho mais trabalhosa. Nesse caso, temos a multiplicação de duas funções, então temos que aplicar uma regrinha que chamamos de regra do produto.

Aplicamos essa regrinha quando podemos separar uma função em duas, por exemplo

h y = e y cos ⁡ y

podemos escrever h y como

h y = p y · q y

onde p y = e y e q y = cos ⁡ y .

a regra do produto diz o seguinte

d a d o   h y = p y · q y ,   h ' y = p ' y · q y + p y · q ' y

Ou seja

∂ e y cos ⁡ y ∂ y = ∂ e y ∂ y cos ⁡ y + e y ∂ cos ⁡ y ∂ y

Vimos que a derivada de e y é igual a ele mesmo e a derivada de cos ⁡ y é igual a - s e n y

∂ e y ∂ y = e y

∂ cos ⁡ y ∂ y = - s e n y

Substituindo na regra do produto, temos.

∂ e y cos ⁡ y ∂ y = e y cos ⁡ y + e y - s e n y

∂ e y cos ⁡ y ∂ y = e y cos ⁡ y - e y s e n y

Substituindo ∂ e x s e n y ∂ y e ∂ e y cos ⁡ y ∂ y em ∂ w ∂ y , temos

∂ w ∂ y = ∂ e x s e n y + e y cos ⁡ y ∂ y = e x cos ⁡ y + e y cos ⁡ y - e y s e n y

∂ w ∂ y = e x cos ⁡ y + e y cos ⁡ y - e y s e n y

Difícil?

Passo 4

Depois de encontrarmos a primeira derivada de w com relação a y , vamos derivar o resultado para encontrar a segunda derivada.

∂ 2 w ∂ y 2 = ∂ ∂ w ∂ y ∂ y = ∂ e x cos ⁡ y + e y cos ⁡ y - e y s e n y ∂ y

Novamente, podemos calcular a derivada da soma, como a soma das derivadas

∂ e x cos ⁡ y + e y cos ⁡ y - e y s e n y ∂ y = ∂ e x cos ⁡ y ∂ y + ∂ e y cos ⁡ y ∂ y - ∂ e y s e n y ∂ y

A primeira é mais simples, como estamos derivando com relação a y , x é tratada como constante, então

∂ e x cos ⁡ y ∂ y = e x ∂ cos ⁡ y ∂ y

Vimos no passo anterior que a derivada do cos ⁡ y é igual a - s e n y , então

∂ e x cos ⁡ y ∂ y = - e x s e n y

A próxima derivada é

∂ e y cos ⁡ y ∂ y

Lembra que acabamos de calcular essa derivada pela regra do produto? Encontramos seu resultado como

∂ e y cos ⁡ y ∂ y = e y cos ⁡ y - e y s e n y

A ultima derivada é dada como

∂ e y s e n y ∂ y

Perceba que podemos calcula-la pela regra do produto também, ou seja

h ' y = p ' y · q y + p y · q ' y

∂ e y s e n y ∂ y = ∂ e y ∂ y s e n y + e y ∂ s e n y ∂ y

Vimos que a derivada de e y é o próprio e y e a derivada de s e n y é igual a cos ⁡ y , substituindo esses valores na regra do produto, temos

∂ e y s e n y ∂ y = e y s e n y + e y cos ⁡ y

Substituímos esse valor em ∂ 2 w ∂ y 2 , temos

∂ 2 w ∂ y 2 = - e x s e n y + e y cos ⁡ y - e y s e n y - e y s e n y + e y cos ⁡ y

Organizando esse resultado um pouquinho, temos

∂ 2 w ∂ y 2 = - e x s e n y - 2 e y s e n y

Tranquilo até aqui?

Passo 5

Encontramos os dois primeiros termos da nossa equação, resta apenas o ultimo, dado por ∂ 2 w ∂ z 2 .

Antes de calcular a derivada parcial de w de segunda ordem com relação a z , vamos calcular a derivada de primeira ordem.

∂ w ∂ z = ∂ e x s e n y + e y cos ⁡ y ∂ z

Mas perai! e x s e n y + e y cos ⁡ y não depende de z e as variáveis x e y são tratadas como constantes quando derivadas com relação a z .

Sabemos que a derivada de uma constante é igual a 0 . Com isso, vemos que a primeira e a segunda derivada de w com relação a z é igual a 0 .

∂ w ∂ z = 0 → ∂ 2 w ∂ z 2 = 0

Por fim, substituímos esses resultados que encontramos na nossa Equação de Laplace

∂ 2 w ∂ x 2 = e x s e n y ∂ 2 w ∂ y 2 = - e x s e n y - 2 e y s e n y ∂ 2 w ∂ z 2 = 0

Assim, temos

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = e x s e n y - e x s e n y - 2 e y s e n y + 0

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = - 2 e y s e n y ≠ 0

A igualdade não foi verificada, então a função w = e x s e n y + e y cos ⁡ y , não é harmônica!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

w não é harmônica.

∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 = - 2 e y s e n y

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