7 - A janela de uma casa tem a forma de um retângulo com um triângulo isósceles no topo. Se o perímetro da janela é 12 m e esta deve coletar a maior quantidade de energia solar possível, mostre que o ângulo da base do triângulo é π / 6 radianos.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, vamos resolver um problema de maximização. Foi dito que temos uma janela quadrada com um triângulo de dois lados iguais, sendo que o perímetro total da janela é de 12 m . Vamos desenhar seu formato pra facilitar nossa visualização do problema

O que estamos buscando é para as medidas da janela que fazem o máximo de luz entrar, ou seja, a área da janela seja máxima, temos que provar que o ângulo θ é igual a π / 6 .

Tem alguma ideia de como podemos começar?? 🤔🤔

A princípio, podemos começar montando nossas equações de área e perímetro da janela, que tal?

Bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos montar nossa equação que descreve a área da nossa janela. Essa equação é formada pela área do quadrado a b a b e pelo triângulo l b l .

A = a · b + b · h 2

Temos que deixar A em função de a , b , então temos que substituir h

Mas o que é h ?

h é o seno de θ multiplicado pela hipotenusa l , correto?

Logo

A = a · b + b · l sin ⁡ θ 2

E o que é l ?

Podemos dizer que cos ⁡ θ é igual a b / 2 dividido por l , não é? Então podemos dizer também que

l = b 2 cos ⁡ θ

Substituindo em A , temos

A = a · b + b · b 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ 2

A = a · b + b 2 · sin ⁡ θ 4 cos ⁡ θ

Lembrando de propriedades trigonométricas, o que é s i n / c o s ? t a n , lembra? Então

A = a · b + b 2 · tan ⁡ θ 4

Logo, essa é a função que temos que maximizar! 😎😎

Passo 3

Mas antes, temos que substituir a equação do perímetro, pois ela que delimita o perímetro que temos

p = 2 a + 2 l + b = 12

Sabemos que l = b 2 cos ⁡ θ , então

2 a + b cos ⁡ θ + b = 12

Temos que substituir essa equação em A , então vamos isolar a em um lado da equação e substituir em A

2 a = 12 - b - b cos ⁡ θ

a = 6 - b 2 - b 2 cos ⁡ θ

Substituindo em A

A = 6 - b 2 - b 2 cos ⁡ θ · b + b 2 · tan ⁡ θ 4

A = 6 b - b 2 2 - b 2 2 cos ⁡ θ + b 2 tan ⁡ θ 4

Para obter os parâmetros em que A é o maior possível, temos que encontrar o ponto crítico em que determina o ponto máximo de A .

Isso é bem familiar, não é? Como vimos, temos que derivar A em relação a b e θ e igualar a 0 . Assim vamos obter um sistema e a solução desse sistema será os valores que vamos verificar.

Entendeu?

Passo 4

Primeiro vamos derivar A com relação a b .

∂ A ∂ b = ∂ 6 b - b 2 2 - b 2 2 cos ⁡ θ + b 2 tan ⁡ θ 4 ∂ b

Sabemos que a derivada de uma soma é igual a soma das derivadas, então

∂ A ∂ b = ∂ 6 b ∂ b - ∂ b 2 2 ∂ b - ∂ b 2 2 cos ⁡ θ ∂ b + ∂ b 2 tan ⁡ θ 4 ∂ b

Todas essas derivadas são obtidas pelo método de derivação polinomial. Neste método, multiplicamos a variável pela potência e subtraímos 1 do seu expoente.

∂ 6 b ∂ b = 1 · 6 b 1 - 1 = 6

∂ b 2 2 ∂ b = 2 · b 2 - 1 2 = b

∂ b 2 2 cos ⁡ θ ∂ b = 2 · b 2 - 1 2 cos ⁡ θ = b cos ⁡ θ

∂ b 2 tan ⁡ θ 4 ∂ b = 2 · b 2 - 1 tan ⁡ θ 4 = b tan ⁡ θ 2

Substituindo esses resultados em ∂ A ∂ b , temos

∂ A ∂ b = 6 - b - b cos ⁡ θ + b tan ⁡ θ 2

Igualando a 0 , obtemos a primeira equação do nosso sistema.

6 - b - b cos ⁡ θ + b tan ⁡ θ 2 = 0

b 1 + 1 cos ⁡ θ - tan ⁡ θ 2 = 6

Tranquilo até aqui?

Passo 5

Agora vamos derivar com relação a θ

∂ A ∂ θ = ∂ 6 b ∂ θ - ∂ b 2 2 ∂ θ - ∂ b 2 2 cos ⁡ θ ∂ θ + ∂ b 2 tan ⁡ θ 4 ∂ θ

Como estamos derivando com relação a θ , a variável b se comporta como uma constante, então onde não temos θ para derivar, a derivada é 0 pelo mesmo princípio da derivada de uma constante.

∂ 6 b ∂ θ = 0

∂ b 2 2 ∂ θ = 0

Podemos tirar as constantes para fora das derivadas e obter os resultados por meio do teorema fundamental do cálculo.

b 2 2 ∂ 1 cos ⁡ θ ∂ θ = b 2 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ

b 2 4 ∂ tan ⁡ θ ∂ θ = b 2 4 sec 2 ⁡ θ

Substituindo esses resultados em ∂ A ∂ θ , temos

∂ A ∂ θ = 0 - 0 - b 2 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + b 2 4 sec 2 ⁡ θ

∂ A ∂ θ = b 2 2 sec ⁡ θ sec ⁡ θ 2 - tan ⁡ θ = 0

Com isso, encontramos nossas duas equações.

Passo 6

Vamos solucionar o sistema dado por

b 1 + 1 cos ⁡ θ - tan ⁡ θ 2 = 6 b 2 2 sec ⁡ θ sec ⁡ θ 2 - tan ⁡ θ = 0

Começando pela segunda equação, temos

b 2 2 sec ⁡ θ = 0   o u   sec ⁡ θ 2 - tan ⁡ θ = 0

A primeira opção não pode ser, já que b = 0 não pode ser uma solução para nosso problema, e sec ⁡ θ não existe. Então obrigatoriamente

sec ⁡ θ 2 - tan ⁡ θ = 0

Escrevendo sec ⁡ θ como 1 cos ⁡ θ e tan ⁡ θ como sin ⁡ θ cos ⁡ θ , temos

1 2 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

1 - 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

Para a igualdade ser satisfeita, apenas nosso numerador pode ser 0 , então

1 - 2 sin ⁡ θ = 0

sin ⁡ θ = 1 2

Calculando o arcsin ⁡ 1 2 , temos

arcsin ⁡ 1 2 = θ = π 6

Esse era o ângulo que buscávamos, não é? 😎

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

θ = π 6

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