A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume é dada por P V = m R T , nesta fórmula R é a constante do gás. Nestas condições a afirmação:

∂ P ∂ V . ∂ V ∂ T . ∂ T ∂ P = - 1

É verdadeira ou falsa?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado pediu pra gente confirmar (ou não) essa afirmação aqui:

∂ P ∂ V . ∂ V ∂ T . ∂ T ∂ P = - 1

E pra resolver esse tipo de questão só tem um jeito: encontrar essas derivadas parciais e substituir na expressão pra ver se achamos -1!

Cola comigo e vem!

Como relembrar é viver, a lei dos gases nos diz que:

P V = m R T

Então a ideia é encontrar as expressões de P ,   V e T em função das outras variáveis e derivar parcialmente cada uma delas. Depois vamos substituir na expressão e ver se dá certo!

Passo 2

A equação dos gases é:

P V = m R T

E precisamos achar ∂ P ∂ V ,   ∂ V ∂ T   e   ∂ T ∂ P .

Começando com a derivada em P .

P em função do resto é:

P = m R T V

E precisamos de ∂ P ∂ V , daí derivando P em função de V temos:

  ∂ P ∂ V = ∂ ∂ V m R T V = - m R T V 2

Beleza?

Agora vamos para ∂ V ∂ T .

V em função do resto é:

V = m R T P

E precisamos de ∂ V ∂ T , daí derivando V em função de T temos:

  ∂ V ∂ T = ∂ ∂ T m R T P = m R P

E por fim ∂ T ∂ P . T em função do resto é:

T = P V n R

E a derivada de T em relação a P é:

∂ T ∂ P = ∂ ∂ P P V m R = V m R

Show!

Passo 3

Agora vamos reunir todos esses resultados e ver no que dá:

∂ P ∂ V = - m R T V 2

∂ V ∂ T = m R P

∂ T ∂ P = V m R

E queremos provar a seguinte relação:

∂ P ∂ V . ∂ V ∂ T . ∂ T ∂ P = - 1

Agora é só substituir os valores:

∂ P ∂ V . ∂ V ∂ T . ∂ T ∂ P = - m R T V 2 . m R P . V m R

Podemos simplificar muita coisa!

∂ P ∂ V . ∂ V ∂ T . ∂ T ∂ P = - m R T P V

Mas sabemos que P V = m R T , então:

∂ P ∂ V . ∂ V ∂ T . ∂ T ∂ P = - 1

Show! Essa relação está correta!

Verdadeiro!

Resposta

v e r d a d e i r o

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