Questão 1 – Utilize as equações ∂ z ∂ x = - F x F z e ∂ z ∂ y = - F y F z para determinar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y na equação

x - z = a r c t g y z

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Para essa questão, temos uma equação dada por x - z = a r c t g y z   e queremos obter as derivadas parciais de z com relação a x e de z com relação a y .

Porém, quando analisamos a equação, não podemos obter a derivada de forma natural pois não podemos isolar z em um lado da equação.

E agora? O que vamos fazer?? 🤔🤔

Nesses casos, quando a variável z não pode ser isolada, usamos o método de derivada implícita.

Assim como descrito no enunciado a derivada de z com relação a x é dada implicitamente como - F x F z e da mesma forma de z com relação a y é dado como - F y F z

Entendeu? Bora ver como é na prática! 😁

Passo 2

Primeiro de tudo, temos que colocar todas as variáveis de um lado só da igualdade

x - z = a r c t g y z

Passando o x e o - z para a direita, temos

- x + z + a r c t g y z = 0

Primeiro vamos derivar com relação a x

F x = d - x + z + a r c t g y z d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

F x = - d x d x + d z d x + d a r c t g y z d x

Em z e em a r c t g y z não aparecem x , então para d x elas são constantes, logo suas derivadas são 0 .

Já para a derivada de x , aplicamos o método de derivação polinomial

F x = - x 1 - 1 + 0 + 0

F x = - 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora derivamos com relação a z

F z = d - x + z + a r c t g y z d z

F z = - d x d z + d z d z + d a r c t g y z d z

Seguindo a mesma lógica anterior, vemos que a derivada de x com relação a z é 0 , a derivada de z é obtida pelo método de derivação polinomial e a derivada de a r c t g y z é obtida pela regra da cadeia substituindo y z por u na derivada de fora.

Bora ver!

F z = - 0 + z 1 - 1 + d y z d z · d a r c t g u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que a derivada de a r c t g x é igual a 1 1 + x 2 , logo

F z = 1 + y z 1 - 1 · 1 1 + u 2

Simplificando e substituindo u por y z de volta

F z = 1 + y · 1 1 + y z 2

F z = 1 + y 1 + y 2 z 2

Interessante, não é? 😉

Passo 4

Substituindo os resultados na formula da derivada implícita, temos

∂ z ∂ x = - F x F z

∂ z ∂ x = - - 1 1 + y 1 + y 2 z 2

Simplificando o sinal da fração, temos

∂ z ∂ x = 1 1 + y 1 + y 2 z 2

Vamos colocar 1 + y 1 + y 2 z 2 sob o mesmo denominador, pra isso multiplicamos 1 por 1 + y 2 z 2 e dividimos por 1 + y 2 z 2 , ou seja

∂ z ∂ x = 1 1 1 + y 2 z 2 1 + y 2 z 2 + y 1 + y 2 z 2

∂ z ∂ x = 1 1 + y 2 z 2 1 + y 2 z 2 + y 1 + y 2 z 2

Juntando as frações do denominador

∂ z ∂ x = 1 1 + y + y 2 z 2 1 + y 2 z 2

Por fim, simplificamos a fração multiplicando os meios pelos extremos

∂ z ∂ x = 1 1 1 + y + y 2 z 2 1 + y 2 z 2

∂ z ∂ x = 1 + y 2 z 2 1 + y + y 2 z 2

Portanto essa é a derivada implícita de z com relação a x .

Entendeu essa parte? 😁

Passo 5

Agora vamos derivar z implicitamente com relação a y , aplicando

∂ z ∂ y = - F y F z

Derivando a equação com relação a y , temos

F y = d - x + z + a r c t g y z d y

F y = - d x d y + d z d y + d a r c t g y z d y

Agora as derivadas de x e z são iguais a 0 e a derivada de a r c t g y z é obtida pela regra da cadeia assim como na derivada de z .

F y = - 0 + 0 + d y z d y · d a r c t g u d u

A derivada de y z é obtida pelo método de derivação polinomial e de a r c t g u já calculamos anteriormente, então podemos copiar o resultado

F y = y 1 - 1 z · 1 1 + u 2

Simplificando, temos

F y = z 1 + y 2 z 2

Está acompanhando? Estamos chegando no fim! 👀

Passo 6

Já calculamos F z anteriormente então já temos todos os valores para a fórmula da derivada implícita.

∂ z ∂ y = - F y F z

∂ z ∂ y = - z 1 + y 2 z 2 1 + y 1 + y 2 z 2

Deixando 1 + y 1 + y 2 z 2 sob o mesmo denominador assim como fizemos no passo 4.

∂ z ∂ y = - z 1 + y 2 z 2 1 1 + y 2 z 2 1 + y 2 z 2 + y 1 + y 2 z 2

∂ z ∂ y = - z 1 + y 2 z 2 1 + y 2 z 2 1 + y 2 z 2 + y 1 + y 2 z 2

Simplificando o denominador, temos

∂ z ∂ y = - z 1 + y 2 z 2 1 + y + y 2 z 2 1 + y 2 z 2

Dessa forma, podemos simplificar os denominadores da fração cortando 1 + y 2 z 2 de cima e de baixo resultando em

∂ z ∂ y = - z 1 + y + y 2 z 2

Assim encontramos a derivada implícita de z com relação a y !

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∂ z ∂ x = 1 + y 2 z 2 1 + y + y 2 z 2

∂ z ∂ y = - z 1 + y + y 2 z 2

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