Seja f x , y = x y 2 x 2 + y 4 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

  1. Mostre que as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem em todos os pontos

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu uma função de duas variáveis definida por partes

f x , y = x y 2 x 2 + y 4 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

E perguntou se as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem em todos os pontos

e agora?

Para que uma parcial exista precisamos calcular ela onde ela ‘quebra’, ou seja, em zero! E pra isso precisamos usar a definição por limites

∂ f ∂ x = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f ( 0,0 ) x - 0

∂ f ∂ y = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f ( 0,0 ) y - 0

Se esses limites existirem, então as derivadas existem!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite em x

∂ f ∂ x = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f ( 0,0 ) x - 0

A função é

f x , y = x y 2 x 2 + y 4 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

Então

f 0,0 = 0

f x , 0 = x . 0 x 2 + 0 = 0

Aí o limite

∂ f ∂ x = lim x → 0 ⁡ 0 - 0 x - 0 = 0

Beleza?

Passo 3

Agora pra y

∂ f ∂ y = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f ( 0,0 ) y - 0

Substituindo temos

∂ f ∂ y = lim y → 0 ⁡ 0 . y 2 0 + y 4 - 0 y - 0 = 0

Ou seja, as derivadas existem em todos os valores!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

s i m

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