Seja f : R 2 → R dada por f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0 0 ,                                                                       x , y = 0

  1. Calcule f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essa função de duas variáveis

f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0 0 ,                                                                       x , y = 0

f x e f y quando f x , y = 0 . Mas como fazer isso?

Quando temos uma indeterminação (em x = y = 0 , temos uma divisão por zero), precisamos calcular a derivada parcial através da definição pelo limite:

f x x 0 , y 0 = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h , y 0 - f ( x 0 , y 0 ) h

f y x 0 , y 0 = lim k → 0 ⁡ f x 0 , y 0 + k - f ( x 0 , y 0 ) k

Tranquilo?

A ideia aqui é aplicar essas definições de limite para a função dada!

Partiu começar?

Passo 2

Começando por f x com x 0 , y 0 = ( 0,0 )

f x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h , 0 - f ( 0,0 ) h

Sabendo que f 0,0 = 0 quando x , y ≠ 0 , e que f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 , então

f h , 0 = h 2 s e n 1 h 2

Aí nosso limite fica

f x 0,0 = lim h → 0 ⁡ h 2 s e n 1 h 2 h = lim h → 0 ⁡ h   s e n 1 h 2 ⏝ l i m i t a d a

Aí temos o produto de uma função limitada por um termo que vai a zero, então f x = 0

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora temos que calcular f y com x 0 , y 0 = ( 0,0 )

f y 0,0 = lim k → 0 ⁡ f 0,0 + k - f ( 0,0 ) k

Sabendo que f 0,0 = 0 quando x , y ≠ 0 , e que f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 , então

f 0 , k = k 2 s e n 1 k 2

Aí nosso limite fica

f y 0,0 = lim k → 0 ⁡ k 2 s e n 1 k 2 k = lim k → 0 ⁡ k   s e n 1 k 2 ⏝ l i m i t a d a

Aí temos o produto de uma função limitada por um termo que vai a zero, então também f y = 0

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

f x ( 0,0 ) = f y ( 0,0 ) = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1