Seja f = f ( x , y ) função de classe 𝒞 2 em ℝ 2 . Se u ( s , t ) = f ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) , mostre que

[ ∂ f ∂ x ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) ] 2 + [ ∂ f ∂ y ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) ] 2 = e - 2 s [ ( ∂ u ∂ s ( s , t ) ) 2 + ( ∂ u ∂ t ( s , t ) ) 2 ]

e que

∂ 2 f ∂ x 2 ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) + ∂ 2 f ∂ y 2 ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) = e - 2 s [ ∂ 2 u ∂ s 2 ( s , t ) + ∂ 2 u ∂ t 2 ( s , t ) ] .

Passo 1

Eaew, tudo certinho com você?

Nós temos aqui uma função em duas dimensões f = f ( x , y ) de classe 𝒞 2 , se temos a seguinte parametrização de uma superfície

u ( s , t ) = f ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) )

precisamos mostrar que

[ ∂ f ∂ x ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) ] 2 + [ ∂ f ∂ y ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) ] 2 = e - 2 s [ ( ∂ u ∂ s ( s , t ) ) 2 + ( ∂ u ∂ t ( s , t ) ) 2 ]

e também que

∂ 2 f ∂ x 2 ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) + ∂ 2 f ∂ y 2 ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) = e - 2 s [ ∂ 2 u ∂ s 2 ( s , t ) + ∂ 2 u ∂ t 2 ( s , t ) ] .

O segredo aqui é identificar que a parametrização nos indica que

x ( s , t ) = e s   c o s ( t ) e y ( s , t ) = e s   s e n ( t )

e, portanto, expandindo o lado direito das equações podemos usar a regra da cadeia para obter o lado esquerdo, claro que após alguma manipulação! Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar demonstrando

[ ∂ f ∂ x ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) ] 2 + [ ∂ f ∂ y ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) ] 2 = e - 2 s [ ( ∂ u ∂ s ( s , t ) ) 2 + ( ∂ u ∂ t ( s , t ) ) 2 ]

ou seja, vamos calcular as primeiras derivadas em termos de s e t usando a regra da cadeia! Começando com

∂ u ∂ s ( s , t ) = ∂ f ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) ∂ s = ∂ f ∂ x ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) ∂ [ e s c o s ( t ) ] ∂ s + ∂ f ∂ y ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) ∂ [ e s c o s ( t ) ] ∂ s

de forma que obtemos

∂ u ∂ s ( s , t ) = ∂ f ∂ x ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) e s c o s ( t ) + ∂ f ∂ y ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) e s s e n ( t )           ( 1 )

da mesma forma podemos calcular

∂ u ∂ t ( s , t ) = ∂ f ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) ∂ t = ∂ f ∂ x ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) ∂ [ e s c o s ( t ) ] ∂ t + ∂ f ∂ y ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) ∂ [ e s c o s ( t ) ] ∂ t

que é equivalente à

∂ u ∂ t ( s , t ) = - ∂ f ∂ x ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) e s s e n ( t ) + ∂ f ∂ y ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) e s c o s ( t )           ( 2 )

se elevarmos as equações ( 1 ) e ( 2 ) ao quadrado temos que

( ∂ u ∂ s ( s , t ) ) 2 = ( ∂ f ∂ x ) 2 e 2 s c o s 2 ( t ) + ( ∂ f ∂ y ) 2 e 2 s s e n 2 ( t ) + 2 ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y e 2 s c o s ( t ) s e n ( t )

( ∂ u ∂ t ( s , t ) ) 2 = ( ∂ f ∂ x ) 2 e 2 s s e n 2 ( t ) + ( ∂ f ∂ y ) 2 e 2 s c o s 2 ( t ) - 2 ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y e 2 s c o s ( t ) s e n ( t )

Note que omiti o fato que f está avaliada em ( x , y ) = ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) por simplicidade. Vamos manipular essas equações agora!

Passo 3

Se somarmos as duas equações, temos que

( ∂ u ∂ s ( s , t ) ) 2 + ( ∂ u ∂ t ( s , t ) ) 2 = ( ∂ f ∂ x ) 2 e 2 s c o s 2 ( t ) + ( ∂ f ∂ y ) 2 e 2 s s e n 2 ( t ) + ( ∂ f ∂ x ) 2 e 2 s s e n 2 ( t ) + ( ∂ f ∂ y ) 2 e 2 s c o s 2 ( t )

note que podemos evidenciar os termos de ( ∂ f ∂ x ) 2 e 2 s e ( ∂ f ∂ y ) 2 e 2 s e usar a relação s e n 2 ( t ) + c o s 2 ( t ) = 1 para obter

( ∂ u ∂ s ( s , t ) ) 2 + ( ∂ u ∂ t ( s , t ) ) 2 = ( ∂ f ∂ x ) 2 e 2 s + ( ∂ f ∂ y ) 2 e 2 s

Se multiplicarmos tudo por e - 2 s temos então finalmente

e - 2 s [ ( ∂ u ∂ s ( s , t ) ) 2 + ( ∂ u ∂ t ( s , t ) ) 2 ] = ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2

como queríamos demonstrar. Vamos fazer a outra agora!

Passo 4

Vamos calcular agora as segundas derivadas em termos de s e t , temos que

∂ 2 u ( s , t ) ∂ s 2 = ∂ ∂ s [ ∂ u ( s , t ) ∂ s ] = ∂ ∂ s [ ∂ f ∂ x ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) e s c o s ( t ) + ∂ f ∂ y ( e s c o s ( t ) , e s s e n ( t ) ) e s s e n ( t ) ]

usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos que

∂ 2 u ( s , t ) ∂ s 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ [ e s c o s ( t ) ] ∂ s e s c o s ( t ) + ∂ f ∂ x e s c o s ( t ) + ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ [ e s s e n ( t ) ] ∂ s e s s e n ( t ) + ∂ f ∂ y e s s e n ( t )

ou simplesmente

∂ 2 u ( s , t ) ∂ s 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 e 2 s c o s 2 ( t ) + ∂ f ∂ x e s c o s ( t ) + ∂ 2 f ∂ y 2 e 2 s s e n 2 ( t ) + ∂ f ∂ y e s s e n ( t )           ( 3 )

da mesma forma podemos obter a segunda derivada em t como

∂ 2 u ( s , t ) ∂ t 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 e 2 s s e n 2 ( t ) - ∂ f ∂ x e s c o s ( t ) + ∂ 2 f ∂ y 2 e 2 s c o s 2 ( t ) - ∂ f ∂ y e s s e n 2 ( t )           ( 4 )

Somando ambas as expressões temos que

∂ 2 u ( s , t ) ∂ s 2 + ∂ 2 u ( s , t ) ∂ t 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 e 2 s + ∂ 2 f ∂ y 2 e 2 s

em que fiz um processo análogo ao caso anterior, finalmente, temos que

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = e - 2 s [ ∂ 2 u ( s , t ) ∂ s 2 + ∂ 2 u ( s , t ) ∂ t 2 ]

A questão foi essa! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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