Seja f : R 2 → R uma função diferenciável que satisfaz

4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 2

Se g t = f 2 cos ⁡ t , s e n t , calcule g ' ( t )

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos a nossa questão, vamos precisar usar a Regra da Cadeia. Pelo enunciado temos:

g t = f 2 cos ⁡ t , s e n t

Como ele quer g ' ( t ) , podemos dizer:

g ' t = f ' 2 cos ⁡ t , s e n t

Pela regra da cadeia, vamos dizer que:

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x × ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y × ∂ y ∂ t

Beleza? Então vamos lá.

Passo 2

Já montamos a nossa relação no Passo 1, vamos trazer aqui as fórmulas que usaremos:

x t = 2 c o s ⁡ ( t )

y t = s e n ( t )

Derivando:

∂ x ∂ t = - 2 s e n ( t )

∂ y ∂ t = c o s ( t )

Jogando na fórmula:

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x × ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y × ∂ y ∂ t

∂ f ∂ t = - 2 s e n ( t ) ∂ f ∂ x + c o s ⁡ ( t ) ∂ f ∂ y

Ok, mas ainda não terminamos.

Passo 3

Sabendo que

x t = 2 c o s ��� ( t )

y t = s e n ( t )

E pela relação que temos no enunciado:

4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 2

Vamos substituir:

4 s e n ( t ) ∂ f ∂ x x , y - 2 c o s ⁡ ( t ) ∂ f ∂ y x , y = 2

Agora, vamos dividir tudo por 2:

2 s e n ( t ) ∂ f ∂ x x , y - c o s ⁡ ( t ) ∂ f ∂ y x , y = 1

Agora, vamos multiplicar tudo por (-1):

- 2 s e n t ∂ f ∂ x x , y + cos ⁡ t ∂ f ∂ y x , y = - 1

Opa, chegamos na mesma relação de quando fizemos a regra da cadeia:

∂ f ∂ t = - 2 s e n ( t ) ∂ f ∂ x + c o s ⁡ ( t ) ∂ f ∂ y

Logo:

∂ f ∂ t = - 1

Porém, como vimos lá no Passo 1:

g ' t = f ' t = - 1

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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