(2) Seja

f x , y = { s i n s i n   x y   x ,     s e   x ≠ 0   y ,     s e   x = 0  

c) Generalizando b) acima, calcule as derivadas parciais em todos os pontos 0 , y em que x = 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que calcular as derivadas parciais de f no ponto genérico 0 , y .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para calcular a derivada parcial de f em relação a x , temos que considerar y uma constante e derivar normalmente. Para a derivada de y , fazemos a mesma coisa ao contrário.

Depois de calculadas as derivadas, substituímos o ponto 0 , y e vemos o resultado que obtemos.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro vamos derivar f com relação a x

f x x , y = { ∂ s i n s i n   x y   x ∂ x ,     s e   x ≠ 0   ∂ y ∂ x ,     s e   x = 0  

Pela regra do quociente, temos

∂ s i n s i n   x y   x ∂ x = ∂ s i n s i n   x y   ∂ x · x - s i n s i n   x y   · ∂ x ∂ x x 2

∂ s i n s i n   x y   x ∂ x = y c o s c o s   x y   · x - s i n s i n   x y   · 1 x 2

∂ s i n s i n   x y   x ∂ x = x y c o s c o s   x y   - s i n s i n   x y   x 2

Já na outra parte, como y não depende de x , então

∂ y ∂ x = 0

Logo, a derivada de f com relação a x é

f x x , y = { x y c o s c o s   x y   - s i n s i n   x y   x 2 ,     s e   x ≠ 0   0 ,     s e   x = 0  

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para y

f y x , y = { ∂ s i n s i n   x y   x ∂ y ,     s e   x ≠ 0   ∂ y ∂ y ,     s e   x = 0  

Pela regra da cadeia...

∂ s i n s i n   x y   x ∂ y = c o s c o s   x y  

Pelo método de derivação polinomial

∂ y ∂ y = 1

Assim, f y é dado por

f y x , y = { c o s c o s   x y   ,     s e   x ≠ 0   1 ,     s e   x = 0  

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Agora substituindo o ponto 0 , y nas derivadas, vamos obter

f x 0 , y = { 0 y c o s c o s   0 y   - s i n s i n   0 y   0 2 ,     s e   x ≠ 0   0 ,     s e   x = 0  

f x 0 , y = { 0 0 ,     s e   x ≠ 0   0 ,     s e   x = 0  

Nesse caso, caímos em uma indeterminação 0 / 0 , então podemos aplicar o limite desse termo e aplicar a regra de L ' H o p i t a l

x y c o s c o s �� x y   - s i n s i n   x y   x 2   = ∂ x y c o s c o s   x y   - s i n s i n   x y   ∂ x ∂ x 2 ∂ x  

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos

- x y 2 s i n s i n   x y   2 x  

- y 2 s i n s i n   x y   2   = - y 2 s i n s i n   0   2 = 0

Com isso, chegamos em

f x 0 , y = { 0 ,     s e   x ≠ 0   0 ,     s e   x = 0  

f x 0 , y = 0

Para f y , temos

f y 0 , y = { c o s c o s   0   ,     s e   x ≠ 0   1 ,     s e   x = 0   → f y 0 , y = { 1 ,     s e   x ≠ 0   1 ,     s e   x = 0  

f y 0 , y = 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f x 0 , y = 0

f y 0 , y = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1