1.5. Sejam f , g : R → R , deriváveis até 2 a ordem. Mostre que u x , y = x f x + y + y g x + y é solução da equação

∂ 2 u ∂ x 2 - 2 ∂ 2 u ∂ x ∂ y + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que mostrar que a função u x , y = x f x + y + y g x + y é solução da equação

∂ 2 u ∂ x 2 - 2 ∂ 2 u ∂ x ∂ y + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

E aí, como fazemos isso? 😊

Nesse caso, a função u é uma função composta com f , então para calcular a derivada de u , temos que aplicar a regra da cadeia.

Parece de boa? 😐

Passo 2

Montando a equação que temos que provar, temos

∂ 2 u ∂ x 2 - 2 ∂ 2 u ∂ x ∂ y + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Fazendo u = x f x + y + y g x + y ...

∂ 2 x f x + y + y g x + y ∂ x 2 - 2 ∂ 2 x f x + y + y g x + y ∂ x ∂ y + ∂ 2 x f x + y + y g x + y ∂ y 2 = 0

∂ 2 x f x + y ∂ x 2 + ∂ 2 y g x + y ∂ x 2 - 2 ∂ 2 x f x + y ∂ x ∂ y + ∂ 2 y g x + y ∂ x ∂ y + ∂ 2 x f x + y ∂ y 2 + ∂ 2 y g x + y ∂ y 2 = 0

Vamos analisar cada termo separadamente...

Derivando o primeiro termo pela primeira vez pela regra do produto, temos

∂ x f x + y ∂ x = ∂ x ∂ x · f x + y + x · ∂ f x + y ∂ x

∂ x f x + y ∂ x = f x + y + x f ' x + y

Derivando pela segunda vez

∂ 2 x f x + y ∂ x 2 = ∂ f x + y + x f ' x + y ∂ x

∂ 2 x f x + y ∂ x 2 = f ' x + y + ∂ x ∂ x · f ' x + y + x · ∂ f ' x + y ∂ x

∂ 2 x f x + y ∂ x 2 = 2 f ' x + y + x f ' ' x + y

Agora vamos derivar o segundo termo pela primeira vez...

∂ y g x + y ∂ x = y ∂ g x + y ∂ x

∂ y g x + y ∂ x = y g ' x + y

Derivando pela segunda vez

∂ 2 y g x + y ∂ x 2 = ∂ y g ' x + y ∂ x

∂ 2 y g x + y ∂ x 2 = y g ' ' x + y

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Agora vamos para ∂ 2 x f x + y ∂ x ∂ y

Primeiro derivamos com relação a x ... como já fizemos esse cálculo anteriormente, vamos apenas escrever o resultado

∂ x f x + y ∂ x = f x + y + x f ' x + y

Agora derivamos o resultado em função de y

∂ 2 x f x + y ∂ x ∂ y = ∂ f x + y + x f ' x + y ∂ y

∂ 2 x f x + y ∂ x ∂ y = f ' x + y + x f ' ' x + y

Para o termo ∂ 2 y g x + y ∂ x ∂ y

Primeiro derivando com relação a x , vamos obter o mesmo resultado que já calculamos anteriormente, ou seja

∂ y g x + y ∂ x = y g ' x + y

Agora derivando o resultado em função de y

∂ 2 y g x + y ∂ x ∂ y = ∂ y g ' x + y ∂ y

Pela regra do produto, temos

∂ 2 y g x + y ∂ x ∂ y = ∂ y ∂ y · g ' x + y + y · ∂ g ' x + y ∂ y

∂ 2 y g x + y ∂ x ∂ y = g ' x + y + y g ' ' x + y

Estamos quase lá! Aguenta aí 👀

Passo 4

Agora vamos calcular os termos de derivada de segunda ordem com relação a y começando por

∂ 2 x f x + y ∂ y 2

Calculando a derivada de primeira ordem, vamos obter

∂ x f x + y ∂ y = x f ' x + y

Derivando o resultado em função de y novamente

∂ 2 x f x + y ∂ y 2 = ∂ x f ' x + y ∂ y

∂ 2 x f x + y ∂ y 2 = x f ' ' x + y

E finalmente, o último termo dado por

∂ 2 y g x + y ∂ y 2

Calculando a derivada de primeira ordem pela regra do produto...

∂ y g x + y ∂ y = ∂ y ∂ y · g x + y + y · ∂ g x + y ∂ y

∂ y g x + y ∂ y = g x + y + y g ' x + y

Derivando o resultado em função de y novamente

∂ 2 y g x + y ∂ y 2 = ∂ g x + y + y g ' x + y ∂ y

∂ 2 y g x + y ∂ y 2 = g ' x + y + g ' x + y + y g ' ' x + y

∂ 2 y g x + y ∂ y 2 = 2 g ' x + y + y g ' ' x + y

Agora é só correr para o abraço! 😁

Passo 5

Substituindo as derivadas que calculamos na equação do problema, vamos obter

∂ 2 x f x + y ∂ x 2 + ∂ 2 y g x + y ∂ x 2 - 2 ∂ 2 x f x + y ∂ x ∂ y + ∂ 2 y g x + y ∂ x ∂ y + ∂ 2 x f x + y ∂ y 2 + ∂ 2 y g x + y ∂ y 2 = 0

2 f ' x + y + x f ' ' x + y + y g ' ' x + y - 2 f ' x + y + x f ' ' x + y + g ' x + y + y g ' ' x + y + x f ' ' x + y + 2 g ' x + y + y g ' ' x + y = 0

Simplificando...

2 f ' x + y + x f ' ' x + y + y g ' ' x + y - 2 f ' x + y - 2 x f ' ' x + y - 2 g ' x + y - 2 y g ' ' x + y + x f ' ' x + y + 2 g ' x + y + y g ' ' x + y = 0

Tratando f ' , f ' ' , g ' e g ’ ’ como constantes, temos

2 - 2 f ' x + y + x - 2 x + x f ' ' x + y + y - 2 y + y g ' ' x + y + - 2 + 2 g ' x + y = 0

Perceba que todos os termos se cancelam resultando em

0 = 0

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∂ 2 x f x + y ∂ x 2 + ∂ 2 y g x + y ∂ x 2 - 2 ∂ 2 x f x + y ∂ x ∂ y + ∂ 2 y g x + y ∂ x ∂ y + ∂ 2 x f x + y ∂ y 2 + ∂ 2 y g x + y ∂ y 2 = 0

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