Sejam f x = { x y 2 x 2 + y 2   ,     s e   x , y   ≠ 0   0 ,     s e   x , y = ( 0,0 )   e u = ( a , b ) um vetor unitário a 2 + b 2 = 1 .

  1. Mostre que f é continua a pesar de não ser diferenciável.
  2. As derivadas parciais de f são contínuas na origem.

Passo 1

Opa amigão, sou o Rodolpho do Responde Aí. Tá tudo joinha por aí?

Bem, hoje vamos resolver uma questãozinha em função de várias variáveis. Para ser mais preciso, a gente vai utilizar conceitos de limites e continuidades.

Esse tipo de questão é muito comum de cair em prova de cálculo.

Aqui não tem muita teoria não, na realidade precisamos apenas de dois conceitos de função de várias variáveis. O primeiro conceito é que para que as derivadas parciais sejam contínuas temos que:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∈ R

A outra é que precisamos calcular as derivadas mirabolantes para mostrar isso.

Mas e aí podemos ir? Colocando a mão na massa as coisas ficam mais concretas.

Sacou né? Então já podemos colocar a mão na massa.

Passo 2

Vamos realizar as seguintes operações, para fazer as contas vamos precisar de dois detalhes.

O primeiro é que quando eu derivo em relação a x, o y se torna constante e vice versa.

O segundo detalhe é que vou precisar da regra do quociente, portanto:

∂ ∂ x x y 2 x 2 + y 2   , ∂ ∂ y x y 2 x 2 + y 2   = y 2 x 2 + y 2 - 2 x * x y 2 x 2 + y 2 2 , 2 y x x 2 + y 2 - 2 y * x y 2 x 2 + y 2 2

Realizando as operações matemáticas temos que:

∂ ∂ x x y 2 x 2 + y 2   , ∂ ∂ y x y 2 x 2 + y 2   = y 2 y 2 - x 2 x + y 2 , 2 x 3 y x + y 2

E podemos ver que existe uma descontinuidade em ( 0,0 ) pois as derivadas nesse ponto geram uma indeterminação do tipo 0 0 .

Sendo assim, as derivadas não são contínuas e como consequência disso a função não é diferençável.

Passo 3

Resposta

Não é diferenciável.

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