17] A temperatura em qualquer ponto P = x , y de uma placa é T graus, e

T x , y = 54 - 3 2 x 2 - 4 y 2

Se a distância for medida em polegadas, encontre no ponto Q = 3,1 a taxa de variação da temperatura em relação à distância na placa na direção do eixo x positivo e na direção do eixo y positivo.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos uma placa cuja temperatura é dada pela função T x , y = 54 - 3 2 x 2 - 4 y 2

E nosso objetivo é obter a variação de temperatura no ponto Q = 3,1 com relação ao eixo x e ao eixo y .

Parece simples? 🤔

O que nos dá a ideia de variação em uma função? 😐

Sua derivada, não é?

Portanto o que precisamos fazer é obter as derivadas parciais de T em relação a x e a y e aplicar o ponto Q a elas para obter as variações que estamos interessados.

Tudo certo? 😉

Passo 2

Primeiro vamos derivar T parcialmente em x , ou seja

∂ x T = ∂ 54 - 3 2 x 2 - 4 y 2 ∂ x

Aplicando o método de derivação polinomial...

∂ x T = - 3 x

Agora vamos derivar T em y pelo mesmo método

∂ y T = ∂ 54 - 3 2 x 2 - 4 y 2 ∂ y

∂ y T = - 8 y

Por fim, vamos substituir o ponto Q nos resultados obtidos

∂ x T 3,1 = - 3 3 = - 9   ° C

∂ y T 3,1 = - 8 1 = - 8   ° C

Portanto, a variação de temperatura em x e em y respectivamente é dada por - 9   ° C e - 8 ° C no ponto Q .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∂ x T 3,1 = - 9   ° C

∂ y T 3,1 = - 8   ° C

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1