Use diferenciais para aproximar o número 8,94 9,99 - 1,01 3

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou decifrar ela para você! Usando diferenciais, o problema pediu para calcularmos o valor de

8,94 9,99 - 1,01 3

Ué, mas como assim diferenciais?

Você percebe que temos uns valores estranhos? Quebrados? E que são próximos de valores inteiros?

8,94 ≈ 9

9,99 ≈ 10

1,01 ≈ 1

Isso significa que podemos associar a esse valor uma função e usando a técnica de Linearização, podemos encontrar o valor dessa função nesse ponto estranho! Ué, mas como?

Dado uma função f ( x , y , z ) , a linearização L ( x , y , z ) no ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) vai ser o seguinte:

L x , y , z = f x 0 , y 0 , z 0 + f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( z - z 0 )

Belezinha até aqui? Temos que ( x 0 , y 0 , z 0 ) é o tal ponto “comportado”, e ( x , y , z ) é o ponto estranho que queremos descobrir o valor. A primeira aproximação que podemos fazer é a linear: aproximando uma função bem parecida por uma soma de seu valor no ponto “bonito” mais seus diferenciais, podemos encontrar uma boa aproximação.

Mas que pontos são esses? Quem é x , y , z na expressão que o enunciado nos dá?

Precisamos calcular esse valor aqui:

8,94 9,99 - 1,01 3

Então podemos escrever nossa função, associando os 3 valores a x , y , z :

f x , y , z = x y - z 3

Então nosso ponto “estranho” vai ser

( x , y , z ) = ( 8,94   ;   9,99   ;   1,01 )

E nosso ponto “bonito” vão ser os valores inteiros mais próximos, que comentamos ali em cima:

( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( 9,10,1 )

Ufa!

Então a ideia aqui é encontrar as derivadas parciais f x ,   f y e f z aplicar no ponto “bonito”. Depois aplicar todos os resultados na fórmula da linearização (que nada mais é do que a equação do plano tangente à função em um ponto, mas isso é papo para mais tarde!)

E por fim, calcular a linearização no ponto “estranho”

E pode ficar tranquilo, viu? Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar calculando as parciais e aplicar no ponto ( 9,10,1 ) próximo. Começando com f x :

f x = y - z 3

E aplicando no ponto

f x 9,10,1 = 10 - 1 = 3

Tudo bem até aqui?

Agora a parcial em y : f y

f x , y , z = x y - z 3

f y = x 2 y - z 3

Aplicando no ponto

f y 9,10,1 = x 2 10 - 1 3 = 9 6 = 3 2

Tranquilo? Por fim f z :

f z = x 2 y - z 3 . ( - 3 z 2 )

E aplicando no ponto

f z 9,10,1 = 9 2 10 - 1 2 . - 3.1 2 = - 9 2

tudo certinho até aqui?

Passo 3

A linearização envolve o valor da função no ponto dado

L x , y , z = f x 0 , y 0 , z 0 + f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , , z 0 y - y 0 + f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( z - z 0 )

É aquele f ( x 0 , y 0 , z 0 ) , que no nosso caso é o ponto inteiro mais próximo ao valor que queremos calcular, então vamos calcular f ( 9,10,1 ) :

f x , y , z = x y - z 3

f 9,10,1 = 9 10 - 1 3 = 9.3 = 27

Belezura?

Agora vamos aplicar esses resultados na linearização!

Passo 4

Recordando nossa fórmula para linearização:

L x , y , z = f x 0 , y 0 , z 0 + f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , , z 0 y - y 0 + f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( z - z 0 )

Queremos a linearização em x 0 , y 0 , z 0 = ( 9,10,1 ) :

L x , y , z = f 9,10,1 + f x 9,10,1 x - 9 + f y 9,10,1 y - 10 + f z ( 9,10,1 ) ( z - 1 )

Ok? Do passo 2

f x 9,10,1 = 3

f y 9,10,1 = 3 2

f z 9,10,1 = - 9 2

E do passo 3

f 9,10,1 = 27

Agora é só substituir!

L x , y , z = 27 + 3 x - 9 + 3 2 y - 10 - 9 2 z - 1

E é isso galera! Temos agora uma fórmula para calcular o valor da função nas proximidades do ponto ( 9,10,1 ) , esse é o significado da linearização!

Passo 5

Queremos calcular no ponto “estranho”

( 8,94 ;   9,99 ;   1,01 )

Esse é nosso ( x , y , z ) ! Agora que temos uma boa aproximação, vamos substituir!

L x , y , z = 27 + 3 x - 9 + 3 2 y - 10 - 9 2 z - 1

L 8,94 ;   9,99 ;   1,01 = 27 + 3 8,94 - 9 + 3 2 9,99 - 10 - 9 2 1,01 - 1

= 27 + 3 - 0,06 + 3 2 - 0,01 - 9 2 0,01

Resolvendo essas continhas temos

= 26,76

E tá aí o valor de 8,94 9,99 - 1,01 3 usando diferenciais!

Beleza? Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

26,76

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