Sejam A =   1 0 0 2 0 0 0 1 0 e A t sua transposta.

Considere   T : R ³ → R ³ a transformação linear cuja matriz, na base canônica R ³ , é a matriz

T = A A t .

e) T é injetora?

f) T é ortogonalmente diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize T ortogonalmente. Se sua resposta foi negativa, justifique.

g) Considere a transformação composta F = T O T . Existe uma base ortonormal de R ³ , feita de autovetores F?

Passo 1

Essa é bem simples, basta você lembra que se tivermos um dos autovalores de T sendo nulo (igual à zero), necessariamente a transformação linear não será injetora.

Passo 2

Para a letra f), precisamos analisar algumas coisas importantes....

A nossa matriz [T] é simétrica e o conjunto que encontramos no item c) para os autovetores de T , formado por {(-2,1,0),(2,1,0),(0,0,1)} são uma base ortogonal de R³

Então agora, a gente só precisa definir quem é a nossa matriz D, formada pelos autovalores e a nossa matriz P, formada pelos autovetores NORMALIZADOS.

Podemos escrever então nossas matrizes assim

D = 0 0 0 0 5 0 0 0 1 ,         P = - 2 5 1 5 0 1 5 2 5 0 0 0 1   e   P - 1 =   - 2 5 1 5 0 1 5 2 5 0 0 0 1

Passo 3

Letra g) agora pra fechar o caixão.

Se olharmos para F, podemos escrevê-lo da seguinte forma:

F = T 2 = P D ² P - 1

Utilizando o P e o D da letra f.

Isso significa que F é ortogonalmente diagonalizável.

Resposta

e)   Não é injetora

f) Sim, é ortogonalmente diagonalizável.

D = 0 0 0 0 5 0 0 0 1 ,         P = - 2 5 1 5 0 1 5 2 5 0 0 0 1   e   P - 1 =   - 2 5 1 5 0 1 5 2 5 0 0 0 1

g) Sim, já vimos que ele é ortogonalmente diagonalizável

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.