Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Questão 4) Calcule (ou mostre que não existe) o limite

d) lim x , y → 0,0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

No enunciado da questão, foi dado um limite da função f x , y = x y x - y x 4 + y 4 para x , y tendendo a 0,0 .

A proposta é bem curtinha, não é? Mas como podemos obter esse limite? 🤔🤔

De modo geral, quando calculamos o limite de uma função em um ponto P , estamos calculando o valor que a função tende a assumir nesse ponto P .

Para o limite existir, a função deve tender ao mesmo valor numérico por todos os lados.

Se em um dos lados, a função tender a um valor diferente, o limite diverge.

Bora ver como nosso limite vai se comportar? 😁

Passo 2

Vamos usar um método de aproximação que consiste em nos aproximar no ponto P por curvas que passam por esse ponto.

Por exemplo, a curva x = 0 , ela passa por 0,0 .

Substituindo x por 0 no nosso limite, temos

lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 y 0 - y 0 4 + y 4

lim y → 0 ⁡ 0 y 4

Como 0 dividido por qualquer número é 0

lim y → 0 ⁡ 0

Lembrando das propriedades de limites, temos que o limite de uma constante é a própria constante, ou seja

lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Logo, o limite de f x , y no ponto 0,0 quando nos aproximamos pela reta x = 0 é 0 !

Entendeu? 👀

Passo 3

Agora podemos nos aproximar pela curva x = y 2 .

Substituindo x por y 2 no limite, temos

lim y 2 , y → 0,0 ⁡ y 2 y y 2 - y y 2 4 + y 4

lim y → 0 ⁡ y 3 y 2 - y y 8 + y 4

Simplificando a fração colocando y em evidencia em y 2 - y e y 4 em y 8 + y 4 , temos

lim y → 0 ⁡ y 3 y y - 1 y 4 y 4 + 1 → lim y → 0 ⁡ y 4 y - 1 y 4 y 4 + 1

Cortando y 4 do numerador com o denominador

lim y → 0 ⁡ y - 1 y 4 + 1

Aplicando o limite substituindo y por 0

lim y → 0 ⁡ 0 - 1 0 4 + 1 = - 1

Ou seja, nos aproximando pela curva x = y 2 , o limite de f x , y em - 1 .

Como o limite das aproximações foram diferentes, logo concluímos que o limite de f x , y não existe!

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4 = D i v e r g e

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4 = D i v e r g e

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