9) Um alpinista de massa m que visa agilizar a sua subida por uma parede vertical de uma encosta triangular se utiliza da liberação e deslizamento de uma caixa de equipamentos de massa M pelo lado inclinado em α da encosta e uma corda de massa desprezível. Ele se dependura na extremidade livre da corda cuja outra extremidade está amarrada à caixa e se solta. Sabe-se que o coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície da encosta é μ e a presença de uma polia no alto da encosta permite a livre movimentação da corda.

  1. Faça um diagrama mostrando todas as forças que atuam tanto na caixa quanto no alpinista quando eles estiverem em movimento.
  2. Escreva a segunda lei de Newton para a caixa e para o alpinista.
  3. Obtenha os módulos das acelerações a → c e a → a da caixa e do alpinista respectivamente bem como os módulos das forças de tensão T → c e T → a na corda em cada um dos lados da encosta.
  4. Determine o intervalo de tempo Δ t que levará para que o alpinista suba uma altura H = 100 m supondo que ele pariu do repouso e que m = 60 k g , M = 400 k g , α = 35 o e μ = 0,5 .

Dados: sen ⁡ 35 o = 0,6 e cos ⁡ 35 o = 0,8 .

Passo 1

Fala aí, galerinha!!

Esse problema é um problema típico de dinâmica. A gente vai ter que fazer um roteirinho e aplicar as leis de Newton. O problema nos fala sobre um alpinista que está preso em uma corda e na outra extremidade da corda tem uma caixa de equipamentos tão pesada que desliza e faz com que o alpinista suba.A parte boa é que o roteiro para resolver essa questão já está na ordem dos itens que o problema nos dá. Então vamos lá.... A primeira coisa que a gente tem que fazer quando nos deparamos com esse tipo de problema é marcas as forças que atuam nos corpos que estamos interessados. Nesse caso temos o alpinista e a caixa. a) As forças que atuam no alpinista são a força peso P → a e a tração da corda T a → , então temos:

Para a caixa, temos 4 forças atuam: O peso da caixa P → c (sempre apontando para o centro da terra), a normal da superfície N → (sempre perpendicular à superfície), a tração da corda T → c e a força de atrito F → a t (como a caixa está deslizando para baixo, ela aponta contrário à este deslize). Então temos:

Passo 2

b) Agora a gente tem que escrever a segunda lei de Newton para cada um dos corpos. Vamos começar com o alpinista. A segunda lei de Newton nos fala que a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o alpinista de massa m é:

∑ i F → i = m a → a

m a → a = P → a +   T → a

Como as forças que atuam no alpinista só estão no eixo vertical j ^ e adotando o sentido para cima como o positivo, temos então:

m a a   j ^ =   - P a j ^ + T a j ^  

Como P a = m g :

m a a   j ^ =   - m g j ^ + T a j ^

Ou seja, temos:

m a a   =   T a - m g

Passo 3

Da mesma maneira, para a caixa, temos:

∑ i F → i = M a → c M a → c =   P → c + N → +   T → c + F → a t

Agora, como estamos em um plano inclinado temos que escrever essas equações para cada componente. A gente faz isso adotando um plano cartesiano alinhado com o plano inclinado. Então a gente faz um diagrama do corpo livre para a caixa como esse aqui:

Por esse diagrama, percebemos que a única força que precisamos decompor é o peso da caixa P → c . Nele a gente percebe que temos uma componente no sentido negativo de y e uma no sentido positivo de x então escrevemos: P → c = P c x i ^ - P c y j ^

A componente em y como está com o ângulo é

P c y = P c cos ⁡ α

E a componente x como está sem o ângulo é:

P c x = P c sen ⁡ α

Então o peso fica escrito como:

P → c = P c sen ⁡ α i ^ - P c cos ⁡ α j ^

Como P c = M g , temos:

P → c = M g sen ⁡ α i ^ - M g cos ⁡ α j ^

Então a segunda lei de Newton para a caixa, em termos das componentes é:

M a c i ^ = M g sen ⁡ α i ^ - M g cos ⁡ α j ^ + N j ^ - T c i ^ - F a t i ^  

Ou, isolando as componentes temos as equações:

M a c = M g sen ⁡ α - T c - F a t 0 = N - M g cos ⁡ α

Passo 4

c) Para encontrarmos as acelerações, vamos ter que resolver o sistema formado pelas equações que a gente obteve quando escrevemos a segunda lei de Newton para os corpos:

m a a   =   T a - m g M a c = M g sen ⁡ α - T c - F a t 0 = N - M g cos ⁡ α    

Antes de tentarmos, vamos melhorar essas equações pensando que o fio e a polia são ideias. Dessa maneira, teremos a mesma tração em qualquer ponto do fio e a aceleração do sistema vai ser a mesma. Ou seja:

a c = a a = a T a = T c = T

As nossas equações ficam:

m a = T - m g M a = M g sen ⁡ α - T - F a t 0 = N - M g cos ⁡ α  

A última equação nos dá:

N = M g cos ⁡ α

Como temos que F a t = μ N ,   as duas primeiras equações se tornam:

m a = T - m g M a = M g sen ⁡ α - T - μ M g cos ⁡ α

Somando essas duas equações temos:

m a + M a = T - m g + M g sen ⁡ α - T - μ M g cos ⁡ α    

Arrumando um pouco temos:

a m + M = g [ M sen ⁡ α - μ cos ⁡ α - m ]

a = g [ M sen ⁡ α - μ cos ⁡ α - m ] m + M

Se levarmos esse resultado na primeira equação do nosso sistema e isolarmos o T temos:

T = M m g m + M ( sen ⁡ α - μ cos ⁡ α + 1 )

Passo 5

d) Agora o exercício nos dá alguns valores e pede que a gente encontre o intervalo de tempo Δ t que levará para que o alpinista suba uma altura H = 100 m . Beleza! Se agora a gente sabe que o alpinista sobe com aceleração constante dada por a , que substituindo os valores temos:

a = 10   [ 400 0,6 - 0,5 × 0,8 - 60 ] 460 ≈ 0,43   m / s 2

A gente pode a equação horária para o alpinista que sobre em um MRUV:

y f = y i + v o t + a t 2 2

Adotando que o alpinista sai da origem com velocidade inicial nula temos:

y f = a t 2 2 = H

Então

t = 2 H a =   2 ( 100 ) 0,43 ≈ 21 s

Resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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