Um bloco de massa m = 10   k g é solto em repouso em um plano inclinado de 45 ° em relação ao plano horizontal, com coeficiente de atrito cinético μ c = 0,5 . Depois de percorrer uma distância d = 2   m ao longo do plano inclinado, o bloco colide com uma mola de constante k = 800   N / m , de massa desprezível, que se encontrava relaxada, de acordo com o esquema mostrado na figura 2.26 .

a) Qual é a compressão sofrida pela mola?

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão temos um bloco descendo um plano inclinado. Existe um atrito entre o bloco e o plano com coeficiente μ c = 0,5 . A grande diferença é que no plano tem uma mola, de constante 800   N / m , que irá sofrer a colisão do bloco.

Precisamos calcular a compressão sofrida por essa mola, isto é, a deformação máxima que ela terá devido à colisão com o bloco. Sacaram?

Pra fazer isso, já que temos uma força dissipativa (o atrito), podemos usar o teorema da energia cinética. Segundo ele:

∑ τ = Δ E C

Então, vamos calcular o trabalho realizado por cada uma das forças e depois invocamos o teorema pra matar a questão!

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, o enunciado falou que o bloco irá descer 2   m antes de entrar em colisão com a mola. Se chamarmos de x m a deformação máxima sofrida pela mola, até que chegue nesse ponto, o bloco terá se deslocado:

2 + x m

Assim, o trabalho realizado pela força de atrito deverá ser dada por:

τ F a t = F a t ⋅ ( 2 + x m )

Como trata-se da força de atrito cinética, ela deve ser dada por:

F a t =   - μ c ⋅ N

A normal pode ser calculada usando que, na direção perpendicular ao plano inclinado, o bloco está em repouso. Assim:

N = m g ⋅ cos ⁡ 45

∴ N = 10 ⋅ 10 ⋅ 2 2

Logo:

N = 50 2   N

Portanto:

F a t = - 0,5 ⋅ 50 2

= - 25 2   N

Daí, substituído no trabalho da força de atrito, temos:

τ F a t =   - 25 2 ( 2 + x m )

Excelente!

Passo 3

Vamos pensar agora no trabalho realizado pela força peso.

Como trata-se de uma força conservativa, importa apenas a diferença de altura entre o instante em que o bloco inicia o movimento e o instante em que a mola está na sua deformação máxima. Assim, temos:

τ P = m g Δ h

Como, no plano inclinado, o bloco desloca-se:

2 + x m

E, o ângulo do plano inclinado é de 45 ° . Vamos ter que:

Δ h = 2 + x m ⋅ s e n   45

= 2 + 2 x m 2

Substituindo na expressão do trabalho, vem:

τ P = 10 ⋅ 10 ⋅ 2 + 2 x m 2

τ P = 100 2 + 50 2 x m

Passo 4

Pra calcular o trabalho realizado pela força elástica é bem parecido com o passo anterior, pois ela também é uma força conservativa. Vamos ter que:

τ F e l = - k Δ x 2 2

Onde Δ x = x m - 0 , já que inicialmente a mola estava relaxada.

Ou seja:

τ F e l = - k x m 2 2

Substituindo k = 800   N / m , vem:

τ F e l = - 400 x m 2

Perfeito!

Passo 5

Agora que já calculamos o trabalho de cada uma das forças podemos invocar novamente o teorema da energia cinética.

∑ τ = Δ E C

- 25 2 2 + x m + 100 2 + 50 2 x m - 400 x m 2 = m v f 2 2 - m v 0 2 2

Vamos pensar um pouco nessas velocidades...

Inicialmente, o bloco é solto em repouso. Ou seja:

v 0 = 0   m / s

Já no instante final, estamos pensando na deforma��ão máxima da mola. Ou seja, é bem no momento em que ele está deixando de empurrar a mola para baixo do plano inclinado e passará a ser empurrado para cima.

Logo, temos mudança no sinal da velocidade. Então:

v f = 0   m / s

Assim, ficamos com a equação:

- 25 2 2 + x m + 100 2 + 50 2 x m - 400 x m 2 = 0

- 400 x m 2 + 25 2 x m + 50 2 = 0

Dividindo tudo por 25 , vem:

- 16 x m 2 + 2 x m + 2 2 = 0

Por bháskara:

x m = - 2 ± 2 2 + 4 ⋅ 16 ⋅ 2 2 2 ⋅ ( - 16 )

Logo, encontramos a raiz positiva:

x m = 0,4773 m

= 47,73   c m

Prontinho galera! É isso aí!

Obrigado pela atenção de vocês 😊

Resposta

0,4773   m

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